А1. Функция y = tgx не определена в точке: 1) 2π; 2) -5π/2; 3) 2π/5; 4) π/4; 5) -3π.

Решение:
Функция y = tgx не определена в точках π/2 + kπ = π(2k + 1)/2 (k – целое число), т.е. в точках π/2, умноженном на нечётное число 2k + 1. -5π/2 – удовлетворяет этому условию.
Ответ: 2.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
А2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён параллелограмм. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 1) 10; 2) 25; 3) 15; 4) 20; 5) 18.

Решение:
Основание параллелограмма а = 5 см, его высота h = 4 см. Площадь параллелограмма S = aH = 5·4 = 20 см².
Ответ: 4.

2 1 3 2

A3. Если 7 ̶ ̶ : X = 4 ̶ ̶ : 3 ̶ ̶ ̶ верная пропорция, то число X равно: 1) 5 ̶ ; 2) 6; 3) 4; 4) 1,6;

9 3 5 3

5) 1,5.

Решение:

2 3 1 65 18 13 13 2 3

X = (7 ̶ ̶ · 3 ̶ ̶ ) : 4 ̶ ̶ = ( ̶ ̶ · ̶ ̶ ) : ̶ ̶ = ̶ ̶ · ̶ ̶ · ̶ ̶ = 6.

9 5 3 9 5 3 1 1 13

Ответ: 2.

________________________________________________________________________________________________

A4. Если 15% некоторого числа равны 33, то 20% этого числа равны: 1) 44; 2) 46; 3) 55; 4) 56; 5) 66.

Решение:
15%X = 33; 15 · 0,01X = 33; 0,15X = 33; X = 33/0,15 = 220.
20%X = 20 · 0,01 · 220 = 44.
Ответ: 1.
__________________________________________________________________________

А5. Если 9Х - 24 = 0, то 18Х - 31 равно: 1) 13; 2) -17; 3) 17; 4) 21; 5) -19.

Решение:
9Х - 24 = 0, 9Х = 24, Х = 24/9 = 8/3. Тогда
18X - 31 = 18 · (8/3) - 31 = 6 · 8 - 31 = 48 - 31 = 17.
Ответ: 3.
__________________________________________________________________________

A6. Для любого числа х выражение 2³ˣ⁺⁴ - 2³ˣ равно: 1)15·2³ˣ; 2) 16; 3) 2⁶ˣ⁺⁴; 4) 2⁽³ˣ⁺⁴⁾˸³ˣ; 5) 8.

Решение:
2³ˣ⁺⁴ - 2³ˣ = 2³ˣ·2⁴ - 2³ˣ = 2³ˣ(2⁴ - 1) = 2³ˣ(16 - 1) = 15·2³ˣ.
Ответ: 1.
___________________________________________________________________________

А7. Сумма корней (корень, если он один) уравнения (x + 3) = 0 равна:

1) -1; 2) 3; 3) -2; 4) 1; 5) -3.

Решение:

(x + 3 )

= 0;

ОДЗ: х - 1 ≥ 0; х ≥ 1.

Каждый сомножитель уравнения приравняем к нулю:

х + 3 = 0;

х = -3 – не удовлетворяет ОДЗ.

= 0; х - 1 = 0; х = 1 – удовлетворяет ОДЗ. х = 1 корень исходного уравнения.

Ответ: 4.

___________________________________________________________________________

А8. От листа жести, имеющего форму квадрата, отрезали прямоугольную полосу шириной 7 дм, после чего площадь оставшейся части листа оказалась равной 30 дм². Длина стороны квадратного листа (в дециметрах) была равна: 1) 11; 2) 12; 3) 10; 4) 9; 5) 8.

Решение:

Пусть а − длина стороны квадратного листа. Тогда а² − площадь квадратного листа. Площадь отрезанной от него прямоугольной полосы −7а (на рис. закрашена). Площадь оставшейся части листа:

а² - 7а = 30,

или

а² - 7а - 30 = 0.

Корни этого квадратного уравнения 10 и -3. Второй корень отбросим (длина стороны не может быть отрицательной). Получили а = 10.

Ответ: 3.

____________________________________________________________________________________

А9. Значение выражения 3⁻¹² ·(3⁻⁵)⁻² равно: 1) 81; 2) 3⁻²²; 3) 9; 4) 3⁻¹⁹; 5) 1/9.

Решение:

3⁻¹² ·(3⁻⁵)⁻² = 3⁻¹² ·3¹⁰ = 3⁻¹²⁺¹⁰ = 3⁻² = 1/3² = 1/9.

Ответ: 5.

____________________________________________________________________________________

A10. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10. Площадь его боковой поверхности равна:

1) 5π; 2) 10π; 3) 20π; 4) 20; 5) 10.

Решение:

S_ABCD = 10 (площадь осевого сечения)

S_бок − ? (площадь боковой поверхности)

Пусть R − радиус основания цилиндра, H − высота цилиндра (см. рис.). Тогда

S_ABCD = AD·CD = 2R·H. (1)

S_бок = 2πR·H. (2)

Разделим (2) на (1)

S_бок/S_ABCD = 2πRH/(2RH),

или

S_бок/S_ABCD = π, отсюда

S_бок = π·S_ABCD.

S_бок = π·10 = 10π.

Ответ: 2.

____________________________________________________________________________________

2 2 1 1

A11. Найдите значение выражения 230 · ̶ ̶ − ( –– + –– ) : ––– .

9 9 10 230

1) 0,1; 2) 43 –– ; 3) -0,1; 4) -23; 5) 23.

Решение:

2 2 1 1 2 29 2 29 −9

230 · ̶ ̶ − ( –– + –– ) : ––– = 230 · ̶ ̶ − ( –– ) · 230 = 230 ( –– − –– ) = 230 · –– = − 23.

9 9 10 230 9 90 9 90 90

Ответ: 4.

____________________________________________________________________________________

x² - 22x + 121 x² - 121

А12. Упростите выражение –––––––––––– : –––––––– .

x² - 11x x ³

x (x - 11)² x - 11 x² x²

1) ––––– ; 2) ––––––– ; 3) ––––– ; 4) ––––– ; 5) ––––– .

x + 11 x⁴ x + 11 x - 11 x + 11

Решение:

x² - 22x + 121 x² - 121 (x - 11)² x² - 11² (x - 11) (x - 11)(x + 11) (x - 11) x³

–––––––––––– : ––––––– = ––––––– : –––––– = –––––– : –––––––––––– = –––––– · –––––––––––– =

x² - 11x x³ x(x - 11) x³ x x³ x (x - 11)(x + 11)

x²

= ––––– .

x + 11

Ответ: 5.

____________________________________________________________________________________

А13. Параллельно стороне треугольника, равной 5, проведена прямая. Длина отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника, равна 2. Найдите отношение площади полученной трапеции к площади исходного треугольника.

2 21 4 3

1) –– ; 2) 0,6 ; 3) –– ; 4) –– ; 5) –– .

5 25 25 25

Решение:

∆ ABC;

MN||AC;

AC = 5;

MN = 2;

S_AMNC/S_ABC − ?

Треугольники ABC и MBN подобны с коэффициентом подобия k = AC/MN = 5/2. Тогда отношение их высот (см. рис.)

H/h = k = 5/2,

отсюда

h = 2H/5.

Высота H-h трапеции AMNC

H-h = H-2H/5 = 3H/5.

Площадь трапеции AMNC

S_AMNC = (1/2)(AC+MN)(H-h) = (1/2)(5+2)(3H/5) = 21H/10.

Площадь треугольника ABC

S_ABC = (1/2)AC·H = (1/2)·5·H = 5H/2.

S_AMNC/S_ABC = (21H/10):(5H/2) = 21/25.

Ответ: 3.

____________________________________________________________________________________

А14. Сумма координат точки пересечения прямых, заданных уравнениями 2x + 5y = 11 и
x + y = 2(5 - y), равна: 1) 8; 2) - 8; 3) 10; 4) - 10; 5) 6.

Решение:

Решаем систему уравнений

x + y = -17 + 9 = - 8.

Ответ : 2.

____________________________________________________________________________________

A15. Количество целых решений неравенства

(x + 3)² - 6x - 18

––––––––––––– > 0

(x - 5)²

на промежутке [-4; 5] равно: 1) 2; 2) 7; 3) 4; 4) 5; 5) 3.

Решение:

ОДЗ: x ≠ 5.

(x + 3)² - 6x - 18 x² + 6x + 9 - 6x - 18 x² - 3² (x - 3)(x + 3)

––––––––––––– > 0; –––––––––––––––– > 0; ––––– > 0; –––––––––– > 0;

(x - 5)² (x - 5)² (x - 5)² (x - 5)²

Применим метод интервалов.

1. На числовую ось наносим точки 3 и -3. Затем, справа-налево на полученных интервалах ставим знаки плюс (+) минус (-) чередуя (см. рис).

2. Последнее неравенство больше нуля, поэтому закрашиваем интервалы со знаком (+).

3. Выкалываем точку x = 5 (ОДЗ).

Из заштрихованных областей на промежутке [-4; 5] выпишем целые числа: -4; 4. Получили два целых числа.

Ответ: 1.

____________________________________________________________________________________

A16. В ромб площадью

вписан круг площадью 5π. Сторона ромба равна: 1) 8; 2) 18;

3) 9√5/5; 4) 18√5/5; 5) 9.

Решение:

ABCD − ромб

SABCD =

Sкруг = 5π (1)

а − ? (сторона ромба)

Площадь круга

Sкруг = πr², (2)

где r − радиус круга. Из (1) и (2) имеем

5π = πr² , отсюда

r = √5.

Площадь треугольника BOC (см. рис)

S∆ BOC = ar/2,

S∆ BOC = SABCD/4.

Из двух последних равенств имеем

ar/2 = SABCD/4, отсюда

а = SABCD/(2r) =

/(2√5) = 9.

Ответ: 5.

____________________________________________________________________________________

A17. Расположите числа

;

в порядке возрастания.

;

Решение:

Второе и третье числа представим в виде корня 12-ой степени:

;

Имеем

Следовательно, в порядке возрастания числа расположатся так

;

Ответ: 4.

____________________________________________________________________________________

A18. Найдите наименьший положительный корень уравнения 4sin² x + 12cosx - 9 = 0.

1) 2π/3; 2) arccos(5/2); 3) π/3; 4) π/6; 5) π - arccos(5/2).

Решение:

4sin² x + 12cosx - 9 = 0. (1)

Так как sin² x = 1 - cos² x, то (1) примет вид

4(1 - cos² x) + 12cosx - 9 = 0. (*)

Замена

t = cosx,

тогда (*) примет вид

4(1 - t²) + 12t - 9 = 0 или 4t² - 12t + 5 = 0. Последнее квадратное уравнение имеет корни: t₁ = 2,5;

t₂ = 0,5.

В первом случае cosx = 2,5 не имеет решений.

Во втором случае cosx = 0,5 отсюда

x = ± arccos0,5 + 2πn, n є Z;

x = ± π/3 + 2πn, n є Z. (**)

При n = 0 из (**) имеем x = - π/3 и x = π/3.

При n = 1 из (**) имеем x = 2π + π/3 = 7π/3 и x = 2π - π/3 = 5π/3.

Наименьший положительный корень: π/3.

Ответ: 3.

____________________________________________________________________________________

3 10

B1. Найдите произведение корней уравнения –––– + 1 = –––––––– .

x + 1 x² + 2x + 1

Решение:

3 10 3 10 3 10 3 10

–––– + 1 = –––––––– ; –––– + 1 = –––––– ; Замена t = x + 1. –– + 1 = –– ; –– + 1 − –– = 0;

x + 1 x² + 2x + 1 x + 1 (x + 1)² t t² t t²

t² + 3t - 10

––––––––– = 0; t ≠ 0. t² + 3t - 10 = 0. Корни t₁ = -5 и t₂ = 2.

t²

Имеем

1) x + 1 = -5; x₁ = -6.

2) x + 1 = 2; x₂ = 1.

Произведение корней x₁x₂ = (-6)·1 = -6.

Ответ: -6.

____________________________________________________________________________________

B2. Диагонали трапеции равны 15 и 20. Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна 12,5.

Решение:

ABCD − трапеция

AC = 15

BD = 20

MN = 12,5 (средняя линия)

S _ABCD − ?

Обозначим AD = a, BC = b. Продолжим AD вправо от точки D (см. рис.). Проведём CK параллельно BD. В паралеллограмме BCKD

DK = BC = b, CK = BD = 20.

Средняя линия трапеции

MN = (a + b)/2, или 12,5 = (a + b)/2 отсюда

AK = a + b = 25.

Пусть h высота трапеции ABCD. Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACK:

S _ABCD = (a + b)h/2 = AK·h/2 = S _ACK. (1)

Площадь ∆ ACK (с известными сторонами) найдём по формуле Герона:

S ACK =

, (2)

AC + CK + AK 15 + 20 + 25

где P = ––––––––––– = –––––––––– = 30 − полупериметр треугольника ACK.
2 2

По (2) получим

S ACK =

= 150.

Следовательно, по (1)

S ABCD = 150.

Ответ: 150.

____________________________________________________________________________________

B3. Сумма корней (или корень, если он один) уравнения 2 ·

= 108 -

равна ... .

Решение:

ОДЗ: x > 0.

Воспользуемся формулой:

2 ·

= 108 -

;
2 ·

= 108 -

;
2 ·

= 108;

(2 + 1) = 108;
3 ·

= 108;

= 36;

= 6² ; log₇ x = 2; x = 7² = 49.

Ответ: 49.

____________________________________________________________________________________

B4. Найдите сумму целых решений неравенства 2³ˣ⁺⁴ - 10 · 4ˣ + 2ˣ ≤ 0.

Решение:

2³ˣ⁺⁴ - 10·4ˣ + 2ˣ ≤ 0; 2³ˣ · 2⁴ - 10 · (2ˣ)² + 2ˣ ≤ 0; (2ˣ)³ · 16 - 10 · (2ˣ)² + 2ˣ ≤ 0; Выносим 2ˣ за скобку

2ˣ ( (2ˣ)² · 16 - 10 · 2ˣ + 1 ) ≤ 0. Обе части неравенства разделим на 2ˣ > 0

(2ˣ)² · 16 - 10 · 2ˣ + 1 ≤ 0. Замена t = 2ˣ > 0. Получим

16t² - 10t + 1 ≤ 0. (1)

Квадратный трёхчлен 16t² - 10t + 1 имеет корни t₁ = 1/2, t₂ = 1/8.

Решим неравенство (1) методом интервалов.

1. На числовую ось (см. рис.) наносим точки 1/2 и 1/8. Затем, справа-налево на полученных интервалах ставим знаки плюс (+) минус (-) чередуя.
2. Неравенство (1) меньше нуля, поэтому закрашиваем интервал со знаком (-).
Имеем

1/8 ≤ t ≤ 1/2 или 1/8 ≤ 2ˣ ≤ 1/2 или 2⁻³ ≤ 2ˣ ≤ 2⁻¹ , отсюда -3 ≤ x ≤ -1.

Из полученного решения находим сумму целых чисел

-3 + (-2) + (-1) = - 6.

Ответ: - 6.

____________________________________________________________________________________

B5. По двум перпендикулярным прямым, которые пересекаются в точке О, движутся две точки М₁ и М₂ по направлению к точке О со скоростями 1 м/с и 2 м/с соответственно. Достигнув точки О, они продолжают своё движение. В первоначальный момент времени М₁О = 5 м, М₂О = 20 м. Через сколько секунд расстояние между точками М₁ и М₂ будет минимальным?

Решение:

v₁ = 1 м/с

v₂ = 2 м/с

x₀ = - 5 м (начальная координата точки М₁)

y₀ = - 20 м (начальная координата точки М₂)

d_min= (M₁M₂)_min

t − ?

Введём оси координат XY (см. рис.). Зависимость координат точек от времени t:

x = x₀ + v₁t (для точки М₁),

y = y₀ + v₂t (для точки М₂),

или

x = - 5 + t

y = - 20 + 2t

Для треугольника xoy теорема Пифагора:

d² = x² + y² или d² = (t - 5)² + (2t - 20)² или d² = 5t² - 90t + 425 или

d² = 5(t² - 18t + 85). (1)

Из (1) следует: d² (а, значит, и d) будут минимальны при минимуме функции

f(t) = t² - 18t + 85. (2)

Как известно, парабола у = ax² + bx + c (при а > 0) имеет минимум при x = - b/(2a).

Из (2) имеем: f(t) будет минимальна при t = - (- 18)/2 = 9.

Ответ: 9.

____________________________________________________________________________________

B6. Найдите 4x₁ · x₂ , где x₁ , x₂ − абсциссы точек пересечения параболы и горизонтальной прямой (см. рис.)

Решение:

Так как парабола касается оси OX, то её вид:

y = a(x - 3)² . (1)

Для нахождения а подставим в (1) координаты точки (2; 1)

1 = a(2 - 3)², отсюда а = 1. Тогда, согласно (1), уравнение параболы примет вид

y = (x - 3)² . (2)

Для нахождения x₁ и x₂ подставим в (2) y = 1,25 и решим квадратное уравнение

1,25 = (x - 3)², отсюда, после возведения в квадрат и упрощения, получим

4x² - 24x + 31 = 0. (A = 4, B = -24, C = 31)

Так как дискриминант последнего квадратного уравнения положителен (D = (-24)² - 4·4·31 = 576-496 = 80 > 0), то по теореме Виета произведение корней

x₁ · x₂ = C/A = 31/4, отсюда 4x₁ · x₂ = 4·(31/4) = 31.

Ответ: 31.

____________________________________________________________________________________

B7. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Если,

BAC = 40⁰ ,

ABD = 75⁰ , то градусная мера угла между прямыми AB и CD равна ... .

Решение:

ABCD − четырёхугольник, вписанный в окружность (см. рис.);

BAC = 40⁰;

ABD = 75⁰;

α − ?

Применим формулу:

−

α = –––––––––––– . (1)

Градусная мера дуги в два раза больше градусной меры вписанного угла, опирающегося на эту дугу:

= 2 ·

ABD = 2 · 75⁰ = 150⁰;

= 2 ·

BAC = 2 · 40⁰ = 80⁰.

Тогда по (1)

150⁰ − 80⁰

α = –––––––– = 35⁰ .

Ответ: 35.

____________________________________________________________________________________

sin²184⁰

B8. Найдите значение выражения –––––––––––––––––––––––––.

4sin²23⁰·sin²2⁰·sin²44⁰·sin²67⁰

Решение:

sin²184⁰ sin²(180⁰+4⁰) sin²4⁰

––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––– =

4sin²23⁰·sin²2⁰·sin²44⁰·sin²67⁰ 4sin²23⁰·sin²2⁰·sin²44⁰·sin²(90⁰-23⁰) 4sin²23⁰·sin²2⁰·sin²44⁰·cos²23⁰

sin²4⁰ sin²4⁰ sin²4⁰

= ––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––– =

(4sin²23⁰·cos²23⁰)·sin²2⁰·sin²44⁰ (2sin23⁰·cos23⁰)²·sin²2⁰·sin²44⁰ sin²46⁰·sin²2⁰·sin²44⁰

sin²4⁰ sin²4⁰ 4sin²4⁰ 4sin²4⁰

= –––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = –––––––––– =

sin²(90⁰-44⁰)·sin²2⁰·sin²44⁰ cos²44⁰·sin²2⁰·sin²44⁰ (4cos²44⁰·sin²44⁰)·sin²2⁰ sin²88⁰·sin²2⁰

4sin²4⁰ 4sin²4⁰ 16sin²4⁰ 16sin²4⁰

= ––––––––––––––– = ––––––––––– = –––––––––––– = ––––––– = 16.

sin²(90⁰-2⁰)·sin²2⁰ cos²2⁰·sin²2⁰ 4cos²2⁰·sin²2⁰ sin²4⁰

Ответ: 16.

____________________________________________________________________________________

B9. В арифметической прогрессии 130 членов, их сумма равна 130, а сумма членов с чётными номерами на 130 больше суммы членов с нечётными номерами. Найдите сотый член этой прогрессии.

Решение:

Sn = 130

n = 130

Sчёт = Sнеч + 130 (1)

a₁₀₀ − ?

Формула общего члена арифметической прогрессии (a₁−первый член, d−разность прогрессии ):

an = a₁ + d(n-1), отсюда при n = 100 имеем

a₁₀₀ = a₁ + 99d. (2)

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Sn = ( 2a₁ + d(n-1) )n/2, (*)

отсюда при n = 130 имеем 130 = (2a₁ + 129d)130/2 или

2a₁ + 129d = 2. (3)

Сумма членов с нечётными номерами:

Sнеч = a₁ + a₃ +a₅ + ... + a₁₂₇ + a₁₂₉.

Здесь слагаемые составляют новую арифметическую прогрессию с разность D = 2d и числом членов N = 130/2 = 65. Их сумма ( см. (*) )

Sнеч = ( 2a₁ + D(N - 1) )N/2 = ( 2a₁ + 2d(65-1) )65/2 = (a₁ + 64d)65. Итак,

Sнеч = (a₁ + 64d)65. (4)

Сумма членов с чётными номерами:

Sчёт = a₂ + a₄ + a₆ + ... +a₁₂₈ + a₁₃₀.

Здесь слагаемые составляют новую арифметическую прогрессию с первым членом A₁ = a₂ ,разность D = 2d и числом членов N = 130/2 = 65. Их сумма ( см. (*) )

Sчёт = ( 2A₁ + D(N -1) )N/2 = ( 2a₂ + 2d(65-1) )65/2 = (a₂ + 64d)65 = (a₁ + d + 64d)65 = (a₁ + 65d)65. Итак,

Sчёт = (a₁ + 65d)65. (5)

(4) и (5) подставим в уравнение (1)

(a₁ + 65d)65 = (a₁ + 64d)65 + 130, отсюда

d = 2.

Для нахождения a₁ подставим найденное d в (3)

2a₁ + 129·2 = 2, отсюда

a₁ = -128.

Теперь по (2) находим a₁₀₀ = -128 + 99·2 = 70.

Ответ: 70.

____________________________________________________________________________________

B10. В равнобокой трапеции большее основание вдвое больше каждой из остальных сторон и лежит в плоскости α. Боковая сторона образует с плоскостью α угол, синус которого равен

. Найдите 36sinβ , где β − угол между диагональю трапеции и плоскостью α.

Решение:

ABCD − трапеция (см. рис. 1)

AB = BC = CD = b,

AD = 2b,

AD є α,

Точка B₁ − проекция точки B на плоскость α.

sinϕ =

36sinβ − ?

1. (Рис.2) Прямоугольный треугольник ABK, теорема Пифагора:

AB² = BK² + AK² или b² = BK² + (b/2)², отсюда

BK = b√3/2.

Прямоугольный треугольник BDK, теорема Пифагора:

BD² = BK² + KD² или BD² = (b√3/2)² + (3b/2)², отсюда

BD = b√3. (1)

2. (Рис. 1) Прямоугольный треугольник ABB₁:

sinϕ = BB₁/AB, или

= BB₁/b, отсюда

BB₁ =

·b . (2)

3. (Рис. 1) С учётом (1) и (2) из прямоугольного треугольника BB₁D:

sinβ = BB₁/BD = (

·b): b√3 = 5/18. Тогда 36sinβ = 36(5/18) = 10.

Ответ: 10.

____________________________________________________________________________________

B11. Количество целых решений неравенства 2ˣ⁺⁶ + log₀,₅(6 - x) > 13 равно ... .

Решение:

ОДЗ: 6 - x > 0, т. е. x < 6.

Запишем исходное неравенство в виде

log₀,₅(6 - x) > 13 - 2ˣ⁺⁶. (1)

На рис. 1 показаны этапы построения графика функции y₁ = log₀,₅(6 - x), на рис. 2 − графика функции y₂ = 13 - 2ˣ⁺⁶.

Левая часть неравенства (1) y₁ = log₀,₅(6 - x) возрастает на ОДЗ, а правая часть y₂ = 13 - 2ˣ⁺⁶ − убывает на ОДЗ.

Пусть x₀ − абсцисса точки

пересечения графиков функций y₁ и y₂. Из рис. 3 ясно, что y₁ > y₂ , т.е. неравенство (1) выполняется при x, принадлежащих промежутку (x₀; 6).

Попробуем подобрать x₀ (если оно целое или рациональное) или оценить, в каком промежутке оно находится (если x₀ иррациональное).

Найдём точки пересечения графиков функций y₁ и y₂ с осью OY.

При x = 0, имеем

y₁ = log₀,₅(6 - 0) =log₀,₅6. Так как -3 =log₀,₅8 < log₀,₅6 <log₀,₅4 = -2, то график функции y₁ пересекает ось OY в точке A из промежутка (-3; -2).

y₂ = 13 - 2⁰⁺⁶ = 13 - 2⁶ = 13 - 64 = - 51, т.е. график функции y₂пересекает ось OY в точке y = - 51.

Точка A на оси OY расположена выше точки (- 51), следовательно, x₀ < 0.

Пусть x = - 2, тогда

y₁ = log₀,₅(6 + 2) =log₀,₅8 = - 3;

y₂ = 13 - 2⁻²⁺⁶ = 13 - 2⁴ = 13 - 16 = - 3.

Значит, графики обеих функций пересекаются в точке с абсциссой x₀ = -2. Итак, неравенство (1), а, следовательно, исходное неравенство, выполняется при x из промежутка (-2; 6). Из этого промежутка выпишем целые числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Имеем 7 целых чисел.

Ответ: 7.

____________________________________________________________________________________

B12. Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной

и углом BAD, равным arccos(3/4). Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол 60⁰. Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите R².

Решение:

ABCD − ромб

а=AB=BC=CD=AD=

− сторона ромба

α =

BAD

cosα = 3/4

SD перпендикулярно ABCD

β =

SBD = 60⁰

BF = FS

Сфера проходит через точки A, B, C, F.

R² − ?

См. рис. 1.

1). Треугольник BAD, теорема косинусов: BD² = a² + a² - 2a·acosα, или BD² = 12 + 12 - 2·12·(3/4), отсюда BD =

Пусть F₁ − проекция точки F на плоскость ABCD.Тогда

BF₁ = BD/2 =

/2.

2). Треугольник ABF₁ прямоугольный, теорема Пифагора: AB² = BF₁² + AF₁² или 12 = 6/4 + AF₁², отсюда

AF₁ =

3). Треугольник BFF₁ прямоугольный: tgβ = FF₁/BF₁ или tg60⁰ = FF₁/BF₁ или √3 = FF₁/(√6/2), отсюда

FF₁ = 3√2/2.

См. рис. 2.

4). Пусть плоскость AFC пересекает сферу по окружности с центром О₁ и радиусом R₁ . Треугольник O₁F₁A прямоугольный, теорема Пифагора: R₁² = AF₁² + F₁O₁² или R₁² = 21/2 + (FO₁ -FF₁)² или (т.к. FO₁ = R₁), R₁² = 21/2 + (R₁ - 3√2/2)², отсюда

R₁ = 5√2/2.

См. рис. 3.

5). Пусть плоскость ABC пересекает сферу по окружности с центром О₂ и радиусом R₂ . Треугольник O₂F₁A прямоугольный, теорема Пифагора: R₂² = AF₁² + F₁O₂² или R₂² = 21/2 + (BO₂ -BF₁)² или (т.к. BO₂ = R₂), R₂² = 21/2 + (R₂ - √6/2)², отсюда

R₂ = 2√6.

См. рис. 4.

5). Окружности (O₁; R₁) и (O₂; R₂) лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях AFC и ABC.

Имеем OO₂ = F₁O₁ = FO₁ - FF₁ = (но FO₁ = R₁ = 5√2/2 см. п. 4) ) = 5√2/2 -3√2/2 = √2.

Итак, OO₂ = √2.

6). Треугольник OO₂K прямоугольный, теорема Пифагора: R² = R₂² +OO₂² = (2√6)² + (√2)² = 24 + 2 = 26.

Итак, R² = 26.

Ответ: 26.