Уважаемые абитуриенты!
Даю решения тестов по математике (вариант 3), предложенных абитуриентам при проведении централизованного тестирования в 2014 году в Беларуси.

                                                            (Вариант 3) 

А1. Даны дроби:    
Укажите дробь, которая равна дроби 

 

Решение: 
Представим в виде смешанного числа неправильную дробь    
 

Ответ: 2.
___________________________________________________________________________________

А2. Укажите номер рисунка, на котором изображены фигуры, симметричные относительно прямой Ɩ.  1) 1;  2) 2;  3) 3;  4) 4;  5) 5.
 

Решение: 
На рис. 5 изображены две фигуры, симметричные относительно прямой Ɩ. 
Ответ: 5.

А7. Длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями уравнения x² - 9x + 6 = 0. Найдите площадь треугольника. 1) 9;  2) 6;  3) 3;  4) 4,5;  5) 7,5. 

Решение: 
x² - 9x + 6 = 0.                                      (1) 
Пусть x₁ и x₂ − корни уравнения (1). Следовательно, по условию x₁ и x₂ − длины катетов прямоугольного треугольника. Площадь S этого треугольника 
S = (1/2)x₁·x₂.                                       (2) 
Произведение корней x₁·x₂ квадратного уравнения (1) найдём по теореме Виета: 
x₁·x₂ = с/a,                                            (3) 
где a = 1, c = 6 − коэффициент при x² и свободный член в уравнении (1) соответственно. Тогда по (3) имеем 
x₁·x₂ = 6/1 = 6 
и по (2) находим площадь S треугольника: 
S = 6/2 = 3. 
Ответ: 3. 
___________________________________________________________________________________ 

А8. Пусть a = 3,6;  b = 7,8·10¹. Найдите произведение ab и запишите его в стандартном виде. 
1) 28,08·10¹;  2) 2,808·10²;  3) 2,808;  4) 2808·10⁻¹;  5) 0,2808·10³. 

Решение: 
Найдём произведение ab: 
ab = (3,6)·(7,8·10¹) = (3,6·7,8)·10¹ = 28,08·10¹. 
Пользуясь формулой aⁿaᵐ = aⁿ⁺ᵐ, запишем полученное число в стандартном виде: 
28,08·10¹ = (28,08/10)·10¹·10¹ = (2,808)·10¹⁺¹ = 2,808·10². 
Ответ: 2.

А13. Объём конуса равен 7, а его высота равна 1/2. Найдите площадь основания конуса. 
1) 42;  2) 21/2;  3) 7/6;  4) 14/3;  5) 3/14. 

Решение: 
V = 7 (объём конуса); 
H = 1/2 = 0,5 (высота конуса); 
S − ? (площадь основания конуса) 
Объём конуса определяется по формуле: 
V = (1/3)SH, 
отсюда 
S = 3V/H = 3·7/0,5 = 42. 
Ответ: 1. 
___________________________________________________________________________________
 
А14. Известно, что наименьшее значение функции, заданной формулой y = x² + 12x + c, равно -11. Тогда значение с равно:  1) 47;  2) - 47;  3) - 119;  4) 36;  5) 25. 
 

Решение: 
y = x² + 12x + c,                                     (1) 
y₀ = - 11 ( минимум параболы (1) (см. рис.) ). 
c − ? 
Известно, что парабола y = ax² + bx + c (при а > 0) достигает минимума при
x₀ = - b/(2a). 
Так как a = 1, b = 12 ( см. (1) ), то 
x₀ = - 12/(2·1) = - 6. 
Для нахождения значения с подставим в (1):
y = y₀ = - 11 и x = x₀ = - 6. Получим 
- 11 = (- 6)² + 12·(- 6) + c, или 
- 11 = 36 - 72 + c, или 
- 11 = - 36 + c, или 
- 11 + 36 = c, отсюда 
c = 25. 
Ответ: 5. 

B1. Найдите сумму целых решений (решение, если оно единственное) системы неравенств 

                     
                                     (1)
 
Решение: 
Запишем цепь равносильных переходов:
 

(1-ое нер-во умножим на (-1), изменив знак ≥ на ≤)
 

Применим формулу: 
ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂),
где x₁ и x₂ − корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. 
Корни уравнения x² - 4x - 12 = 0:  x₁ = - 2, x₂ = 6. Тогда
x² - 4x - 12 = (x + 2)(x - 6)
и последняя система неравенств равносильна системе:
 

                            (1*) 
 

Для 1-го неравенства системы (1*) применимметод интервалов (рис. 1): 
− на числовую ось наносим точки (-2) и 6 (точки закрашиваем, т.к. это неравенство нестрогое); 
− на полученных интервалах наносим справа-налево знаки “+, -”, чередуя; 
− т.к. неравенство имеет знак “≤”, то закрашиваем интервалы со знаком “-”; 
− выписываем решение 1-го неравенства системы (1*) (по закрашенной области на рис. 1): 
x є [- 2; 6]. 

Наносим решения неравенств (закрашенные области) системы (1*) на числовые оси (рис. 2). 
Из рис. 2 находим общую закрашенную область на двух числовых прямых: 
x є [-2; 4) U (4; 6].                                       (2) 
Множество (2) − это решение системы неравенств (1*) и, следовательно, решение исходной системы неравенств (1). 
Из множества (2) выпишем целые числа: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 5, 6. 
Находим сумму целых решений: 
(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 14. 
Ответ: 14.

B5. Найдите сумму (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 

                             (1) 

Решение: 
Воспользуемся формулой: sin2x = 2sinxcosx. Тогда (1) равносильно уравнению 

Отсюда имеем два уравнения:
 
1). cosx = 0, решение которого
 
x = 90⁰ + 180⁰·n, n є Z.                            (2)
 
Задаём значения n и по (2) вычисляем решения: 
при n = 0, x = 90⁰; 
при n = - 1, x = 90⁰ - 180⁰ = - 90⁰. 
Получили минимальный положительный и максимальный отрицательный корни: 
90⁰; - 90⁰.                                                (*) 
 

решение которого 

(применим формулу arcsin(-а) = - arcsin(а) )
 

x = (-1)ᵏ⁺¹·60⁰ + 180⁰·k, k є Z.                   (3)
 
Задаём значения k и по (3) вычисляем решения: 
при k = 0, x = - 60⁰; 
при k = 1, x = 60⁰ + 180⁰ = 240⁰. 
при k = - 1, x = 60⁰ - 180⁰ = - 120⁰. 
Получили минимальный положительный и максимальный отрицательный корни: 
240⁰; - 60⁰.                                                (**) 
Запишем решения (*) и (**) в один ряд: 
90⁰; - 90⁰; 240⁰; - 60⁰, 
отсюда выбираем наименьший положительный корень (90⁰) и наибольший отрицательный корень (- 60⁰), а их сумма равна: 
90⁰ + (- 60⁰) = 30⁰. 
Ответ: 30.

B10. Куб вписан в правильную четырёхугольную пирамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а четыре другие вершины − на её основании. Длина стороны основания пирамиды равна 3, высота пирамиды − 2. Найдите площадь S поверхности куба. В ответ запишите значение выражения 25S. 
 

Решение: 
SABCD − правильная четырёхугольная пирамида (рис.); 
A₁B₁C₁D₁A₂B₂C₂D₂ − куб, вписанный в пирамиду; 
a = AD = 3 − сторона основания (квадрат) пирамиды SABCD; 
H = SO = 2 − высота пирамиды SABCD; 
25S − ? 
Обозначим х − сторона куба. Тогда площадь одной грани куба − х². У куба 6 равных граней и площадь S поверхности куба: 
S = 6х².                                       (1) 
На рис. изображены две гомотетичные пирамиды SABCD и SA₁B₁C₁D₁ с центром S гомотетии и с коэффициентом k гомотетии 
k = SO/SO₁ = H/h,                       (2) 
где h − высота пирамиды SA₁B₁C₁D₁. 
Так как гомотетия есть преобразование подобия, то пирамиды SABCD и SA₁B₁C₁D₁ подобны с коэффициентом k подобия, определённой в (2). Из подобия пирамид SABCD и SA₁B₁C₁D₁ имеем: 
SO/SO₁ = AD/A₁D₁ 
или, т. к. A₁D₁ = х и, с учётом (2), 
H/h = а/x, 
или, т. к. h = H - x (см. рис.), 

отсюда 
Hx = a(H - x) или
Hx = aH - ax или
Hx + ax = aH или
x(H + a) = aH, отсюда
 

   
                                  (3) 

С учётом (1) и (3), имеем
 

тогда 

 

 
Ответ: 216.