Уважаемые абитуриенты!
Ниже я даю решения тестов по математике (вариант 5), предложенных абитуриентам при проведении централизованного тестирования в 2013 году в Беларуси.
________________________________________________________________________________________________
А1. Среди чисел -7; 7⁻¹; 1/7; 
; -0,7 выберите число, противоположное числу 7. 1) -7; 2) 7⁻¹; 3) 1/7; 4)
Решение:
Числа а и -а называют противоположными. Значит, числа 7 и -7 противоположные. Итак, числу 7 соответствует противоположное число (-7).
Ответ: 1.
________________________________________________________________________________________________
Решение:
На рисунке представлены две образующие цилиндра: MN и QL.
Ответ: 3.
________________________________________________________________________________________________
Решение:
На рисунке изображена прямая, уравнение которой: y = 3 (x − любое число). Только точка С имеет ординату, равную трём: y = 3.
Ответ: 3.
____________________________________________________________________________________
5 17
А4. Найдите значение выражения ( 5 –– - 5 –– )·4,8 - 0,8.
6 24
1) 2,2; 2) -1,4; 3) 0,2; 4) 1,4; 5) -0,2.
Решение:
5 17 35 137 140 137 140 - 137
( 5 –– - 5 –– )·4,8 - 0,8 = ( –– - ––– )·4,8 - 0,8 = ( ––– - ––– )·4,8 - 0,8 = ( –––––––– )·4,8 - 0,8 =
6 24 6 24 24 24 24
3 1 4,8
–– · 4,8 - 0,8 = –– · 4,8 - 0,8 = ––– - 0,8 = 0,6 - 0,8 = - 0,2.
24 8 8
Ответ: 5.
________________________________________________________________________________________________
А5. Одно число меньше другого на 72, что составляет 18 % большего числа. Найдите меньшее число. 1) 328; 2) 390; 3) 900; 4) 480; 5) 472.
Решение:
Пусть х − меньшее число, х + 72 − большее число. По условию имеем:
72 = 18%(х + 72),
или 72 = 18·0,01·(х + 72), или 72 = 0,18·(х + 72).
Решая последнее линейное уравнение, находим
х = 328.
Ответ: 1.
________________________________________________________________________________________________
Решение:
{ α + β = 102⁰, (1)
{ β + γ = 128⁰, (2)
{ α + β + γ = 180⁰. (3)
С учётом (1), упростим (3). Тогда уравнения (2) и (3) примут вид:
{ β + γ = 128⁰, (2*)
{ 102⁰ + γ = 180⁰. (3*)
Из (3*) находим γ = 180⁰ - 102⁰ = 78⁰ и подставим в (2*).
β + 78⁰ = 128⁰, отсюда
β = 128⁰ - 78⁰ = 50⁰.
∟ВОС = β = 50⁰.
Ответ: 2.
________________________________________________________________________________________________
А7. Образующая конуса равна 34 и наклонена к плоскости основания под углом 60⁰. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
1) 578π; 2) 289π; 3) 289π; 4) 578π; 5) 1156π.
π; 2) 289π; 3) 289π; 4) 578π; 5) 1156π. 
L = 34 (образующая)
α = 60⁰
Sбок − ?
Площадь боковой поверхности Sбок конуса:
Sбок = πRL, (1)
где R − радиус основания конуса.
Из прямоугольного треугольника ВОС (см. рис.) находим: R = Lcosα.
Тогда (1) примет вид
Sбок = π(Lcosα)L или
Sбок = πL²cosα.
Sбок = π·34²·cos60⁰ = π·1156·0,5 = 578π.
Sбок = 578π.
Ответ: 4.
________________________________________________________________________________________________
А8. Расположите числа 3,66;
; 3,(6) в порядке возрастания. 1); 3,(6); 3,66; 2) 3,66;; 3,(6); 3) 3,(6); ; 3,66; 4) 3,66; 3,(6); ; 5) ; 3,66; 3,(6). Решение:
Число 3,(6) = 3,6666… − бесконечная периодическая десятичная дробь.
Переведём обыкновенную дробь
в десятичную. Для этого разделим “уголком” 25 на 7:
Следовательно,
≈ 3,57. Так как 3,57 < 3,66 < 3,6666… , то
< 3,66 < 3,(6) и в порядке возрастания исходные числа расположатся так: ; 3,66; 3,(6).Ответ: 5.
________________________________________________________________________________________________
А9. Одна из сторон прямоугольника на 6 см длиннее другой, а его площадь равна 112 см². Уравнение, одним из корней которого является длина меньшей стороны прямоугольника, имеет вид: 1) x² + 112x - 6 = 0; 2) x² + 6x - 112 = 0; 3) x² - 112x + 6 = 0; 4) x² - 6x + 112 = 0; 5) x² - 6x - 112 = 0.
S = 112 см² (площадь прямоугольника).
Пусть х − длина меньшей стороны прямоугольника, тогда х + 6 − длина большей стороны прямоугольника (см. рис).
Площадь S прямоугольника равна:
S = х·(х + 6) или 112 = х·(х + 6) или 112 = х² + 6х. Отсюда
x² + 6x - 112 = 0 − искомое уравнение.
Ответ: 2.
____________________________________________________________________________________
А10. Точки А(-1; 2) и В(2; 7) − вершины квадрата ABCD. Периметр квадрата равен:
Решение:
Периметр Р квадрата со стороной а = АВ:
Р = 4а. (1)
Если известны координаты точек A(XА; YA) и B(XB; YB), то длину a отрезка АВ находят по формуле:
Из (1) и (2) получаем формулу для вычисления периметра Р квадрата:
По условию имеем
XA = -1, YA = 2, XB = 2, YB = 7.
Тогда по (3) находим периметр Р квадрата:
.
.____________________________________________________________________________________
А11. Упростите выражение
Решение:
Применим формулу: (a + b)(a - b) = a2 - b2.
В 1-й дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и
знаменатель на
:
Во 2-й дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на
:
Тогда исходное выражение примет вид
Ответ: 4.
________________________________________________________________________________________________
А12. Решением неравенства
44 2x² + 3x 2 - 7x²
–– - –––––––– > –––––––
7 2 7
является промежуток: 1) (4; +∞); 2) (-4; +∞); 3) (-∞; 1/4); 4) (-∞; 4); 5) (1/4; +∞).
Решение:
Избавимся от знаменателей, умножив левую и правую части неравенства на 14:
44 2x² + 3x 2 - 7x² 44 2x² + 3x 2 - 7x²
14·( –– - –––––––– ) > 14· –––––– или 14· –– - 14· –––––––– > 14· –––––– или
7 2 7 7 2 7
2·44 - 7(2x² + 3x) > 2(2 - 7x²),
88 - 14x² - 21x > 4 - 14x²,
88 - 14x² - 21x - 4 + 14x² > 0,
84 - 21x > 0,
- 21x > - 84 (обе части неравенства умножим на -1).
-1(- 21x) < -1(- 84),
21x < 84, отсюда x < 84/21 или x < 4.
Получили: х є (-∞; 4).
Ответ: 4.
____________________________________________________________________________________
А13. Найдите длину средней линии прямоугольной трапеции с острым углом 60⁰, у которой большая боковая сторона и большее основание равны 16.
Решение:
ABCD − прямоугольная трапеция (см. рис.)
α = 60⁰
AD = CD = a = 16
MN − ? (MN − средняя линия трапеции)
Средняя линия MN трапеции равна:
AD + BC
MN = –––––––– . (1)
2
Проведём перпендикуляр СК к стороне AD (см. рис.). Из прямоугольного треугольника CDK имеем:
KD = CD·cosα = a·cosα.
Тогда для прямоугольника ABCK имеем
BC = AK = AD - KD = a - a·cosα.
Тогда (1) примет вид
a + a - a·cosα a(2 - cosα)
MN = ––––––––––– = –––––––––– .
2 2
a(2 - cosα)
MN = ––––––––––– .
2
16·(2 - cos60⁰) 16·(2 - 0,5)
MN = ––––––––––––– = –––––––––– = 12.
2 2
MN = 12.
Ответ: 3.
________________________________________________________________________________________________
А14. Упростить выражение
1) a + 4c + b; 2) a - 4c - b; 3) 4; 4) 4a²c²; 5) a + 4c - b.
Решение:
Выполним сложение в 1-ой скобке ( с применением двух формул сокращённого умножения:
a² + 2ab + b² = (a + b)² и a² - b² = (a + b)(a - b) ):
a² + 16c² - b² 8ac + a² + 16c² - b² (a² + 8ac + 16c²) - b² ( a² + 2·a·4c + (4c)² ) - b²
4 + ––––––––––– = –––––––––––––––– = ––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––– =
2ac 2ac 2ac 2ac
(a + 4c)² - b² (a + 4c + b)(a + 4c - b)
––––––––––– = –––––––––––––––––– .
2ac 2ac
Далее, выполним деление:
(a + 4c + b)(a + 4c - b) (a + 4c + b)(a + 4c - b) a + 4c - b
–––––––––––––––––– : (a + b + 4c) = –––––––––––––––––– = –––––––– .
2ac 2ac·(a + b + 4c) 2ac
Наконец, выполним умножение:
a + 4c - b
–––––––– · 2ac = a + 4c - b.
2ac
Ответ: 5.
____________________________________________________________________________________
А15. Найдите сумму целых решений неравенства 5(x - 4) > (x - 4)².
1) 39; 2) 5; 3) 26; 4) -26; 5) -5.
Решение:
5(x - 4) > (x - 4)²; (переносим правую часть влево со знаком ”минус”)
5(x - 4) - (x - 4)² > 0; (выносим (x - 4) за скобки)
(x - 4)( 5 - (x - 4) ) > 0; (раскрываем внутренние скобки)
(x - 4)(5 - x + 4) > 0; (упрощаем во 2-й скобке)
(x - 4)(9 - x) > 0; (обе части неравенства умножим на (-1), изменив знак “>” на знак “<”)
- (x - 4)(9 - x) < 0; (внесём “минус” во 2-ю скобку)
(x - 4)(x - 9) < 0. (1)
Применим метод интервалов (см. рис):
− на числовую ось наносим точки 4 и 9 (точки не закрашиваем, т.к. неравенство (1) строгое);
− на полученных интервалах наносим справа-налево знаки “+, -”, чередуя;
− т.к. неравенство (1) имеет знак “<”, то закрашиваем интервалы со знаком “-”;
− выписываем решение неравенства (по закрашенной области на рис.):
x є (4; 9).
Из интервала (4; 9) находим целые числа: 5, 6, 7, 8.
Находим сумму целых решений неравенства:
5 + 6 + 7 + 8 = 26.
Ответ: 3.
____________________________________________________________________________________
А16. ABCDA₁B₁C₁D₁ − прямоугольный параллелепипед такой, что АВ = 20, AD = 4. Через середины рёбер АА₁ и ВВ₁ проведена плоскость (см. рисунок), составляющая угол 60⁰ с плоскостью основания ABCD. Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.
Решение:
ABCDA₁B₁C₁D₁ − прямоугольный параллелепипед (рис. 1);
АВ = 20;
AD = 4;
M, N − середины сторон АА₁ и ВВ₁ соответственно;
MNLK − плоскость, составляющая угол α с плоскостью основания ABCD;
α = 60⁰;
Sсеч − площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью (заштрихована);
Sсеч − ?
Воспользуемся формулой:
Sосн = Sсеч·cosα, (1)
где Sосн = SABCD = АВ·AD − площадь основания прямоугольного параллелепипеда;
Из (1) имеем
Sсеч = Sосн/cosα.
Sсеч = (АВ·AD)/cosα.
Sсеч = (20·4)/cos60⁰ = (20·4)/0,5 = 160.
Sсеч = 160.
Ответ: 4.
____________________________________________________________________________________
А17. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции
y = (3sin3x + 3cos3x)²
равна: 1) 9; 2) 18; 3) 36; 4) 3; 5) 12.
Решение:
ymax + ymin − ?
y = (3sin3x + 3cos3x)². (1)
Правую часть (1) возведём в квадрат по формуле (а + в)² = а² + 2ав + в²:
(3sin3x + 3cos3x)² = (3sin3x)² + 2·3sin3x·3cos3x + (3cos3x)² = 9sin²3x + 9·2sin3x·cos3x + 9cos²3x =
= 9(sin²3x + cos²3x + 2sin3x·cos3x) =
= ( применим формулы: sin²α + cos²α = 1; 2sinα·cosα = sin2α ) =
= 9(1 + sin6x).
Тогда (1) примет вид:
y = 9(1 + sin6x). (1*)
Оценим правую часть (1*) с помощью цепочки неравенств:
-1 ≤ sin6x ≤ 1 (прибавим 1),
-1 + 1 ≤ 1 + sin6x ≤ 1 + 1,
0 ≤ 1 + sin6x ≤ 2 (умножим на 9),
0·9 ≤ 9(1 + sin6x) ≤ 2·9,
0 ≤ 9(1 + sin6x) ≤ 18 ( учтём (1*) ),
0 ≤ у ≤ 18. (2)
Следовательно, на основании (2),
ymin = 0, ymax = 18. Тогда
ymax + ymin = 18 + 0 = 18.
ymax + ymin = 18.
Ответ: 2.
________________________________________________________________________________________________
А18. Корень уравнения
1 - 7x
log0,6 ––––– + log0,6 ((1 - 7x)(4x - 5)) = 0
4x - 5
(или их сумма, если корней несколько) принадлежит промежутку:
1) [-1; 0); 2) (0; 1); 3) [1; 2); 4) [2; 3); 5) [3; 4).
Решение:
1 - 7x
log0,6 ––––– + log0,6 ((1 - 7x)(4x - 5)) = 0. (1)
4x - 5
ОДЗ уравнения (1):
(2)
Решаем уравнение (1):
1 - 7x
log0,6 ––––– + log0,6 ((1 - 7x)(4x - 5)) = 0; ( Применим формулу logₐх₁+ logₐх₂ = logₐ(х₁х₂) )
4x - 5
log0,6 (1 - 7х)² = 0;
(1 - 7x)² = 0,6⁰;
1 - 14x + 49x² = 1;
49x² - 14x = 0;
x(49x - 14) = 0.
Корни последнего уравнения:
x₁ = 0 или 49x - 14 = 0, x₂ = 14/49 = 2/7.
Первый корень x₁ = 0 не удовлетворяет ОДЗ (2), поэтому его отбросим.
Второй корень x₂ = 2/7 удовлетворяет ОДЗ (2), поэтому он является решением уравнения (1).
Корень уравнения (1) принадлежит промежутку (0; 1):
2/7 є (0; 1).
Ответ: 2.
____________________________________________________________________________________
B1. Автомобиль проехал некоторое расстояние, израсходовав 12 л топлива. Расход топлива при этом составил 8 л на 100 км пробега. Затем автомобиль существенно увеличил скорость, в результате чего расход топлива вырос до 10 л на 100 км пробега. Сколько литров топлива понадобится автомобилю, чтобы проехать такое же расстояние?
Решение:
1) 8 л (на 100 км)
X₁ = 12 л
2) 10 л (на 100 км)
X₂ − ?
Пусть S − расстояние, пройденное автомобилем в обоих случаях.
1. В первом случае расход топлива на 1 км пробега составляет: 8:100 = 0,08 л/км.
Расход топлива X₁ при прохождении расстояния S:
X₁ = 0,08·S. (1)
2. Во втором случае расход топлива на 1 км пробега составляет: 10:100 = 0,1 л/км.
Расход топлива X₂ при прохождении расстояния S:
X₂ = 0,1·S. (2)
Разделим равенство (1) на равенство (2):
X₁/X₂ = 0,08·S/(0,1·S) или X₁/X₂ = 0,8, отсюда
X₂ = X₁/0,8,
X₂ = 12/0,8 = 15 л.
Ответ: 15.
____________________________________________________________________________________
B2. Решите уравнение
В ответ запишите сумму его корней (корень, если он один).
Решение:
(1)
В (1) перенесём второе слагаемое вправо
(возведём в квадрат обе части уравнения)
x - 2 = (x - 2)(x + 6) или
x - 2 = x² + 6x - 2x - 12 или
x² + 3x - 10 = 0.
Корни последнего квадратного уравнения x₁ = - 5, x₂ = 2.
При возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Поэтому сделаем проверку, подставляя найденные корни в уравнение (1):
при x = - 5 уравнение (1) примет вид
(равенство не имеет смысла, т.к. под квадратным корнем стоит отрицательное число), x₁ = - 5 − посторонний корень и его отбросим;
при x = 2 уравнение (1) примет вид
или 0 - 0 = 0 или 0 = 0 (равенство верное), следовательно
x = 2 − корень уравнения (1).
Ответ: 2.
________________________________________________________________________________________________знаменатель на
::________________________________________________________________________________________________
А12. Решением неравенства
44 2x² + 3x 2 - 7x²
–– - –––––––– > –––––––
7 2 7
является промежуток: 1) (4; +∞); 2) (-4; +∞); 3) (-∞; 1/4); 4) (-∞; 4); 5) (1/4; +∞).
Решение:
Избавимся от знаменателей, умножив левую и правую части неравенства на 14:
44 2x² + 3x 2 - 7x² 44 2x² + 3x 2 - 7x²
14·( –– - –––––––– ) > 14· –––––– или 14· –– - 14· –––––––– > 14· –––––– или
7 2 7 7 2 7
2·44 - 7(2x² + 3x) > 2(2 - 7x²),
88 - 14x² - 21x > 4 - 14x²,
88 - 14x² - 21x - 4 + 14x² > 0,
84 - 21x > 0,
- 21x > - 84 (обе части неравенства умножим на -1).
-1(- 21x) < -1(- 84),
21x < 84, отсюда x < 84/21 или x < 4.
Получили: х є (-∞; 4).
Ответ: 4.
____________________________________________________________________________________
А13. Найдите длину средней линии прямоугольной трапеции с острым углом 60⁰, у которой большая боковая сторона и большее основание равны 16.
Решение:
ABCD − прямоугольная трапеция (см. рис.)
α = 60⁰
AD = CD = a = 16
MN − ? (MN − средняя линия трапеции)
Средняя линия MN трапеции равна:
AD + BC
MN = –––––––– . (1)
2
Проведём перпендикуляр СК к стороне AD (см. рис.). Из прямоугольного треугольника CDK имеем:
KD = CD·cosα = a·cosα.
Тогда для прямоугольника ABCK имеем
BC = AK = AD - KD = a - a·cosα.
Тогда (1) примет вид
a + a - a·cosα a(2 - cosα)
MN = ––––––––––– = –––––––––– .
2 2
a(2 - cosα)
MN = ––––––––––– .
2
16·(2 - cos60⁰) 16·(2 - 0,5)
MN = ––––––––––––– = –––––––––– = 12.
2 2
MN = 12.
Ответ: 3.
________________________________________________________________________________________________
А14. Упростить выражение
1) a + 4c + b; 2) a - 4c - b; 3) 4; 4) 4a²c²; 5) a + 4c - b.
Решение:
Выполним сложение в 1-ой скобке ( с применением двух формул сокращённого умножения:
a² + 2ab + b² = (a + b)² и a² - b² = (a + b)(a - b) ):
a² + 16c² - b² 8ac + a² + 16c² - b² (a² + 8ac + 16c²) - b² ( a² + 2·a·4c + (4c)² ) - b²
4 + ––––––––––– = –––––––––––––––– = ––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––– =
2ac 2ac 2ac 2ac
(a + 4c)² - b² (a + 4c + b)(a + 4c - b)
––––––––––– = –––––––––––––––––– .
2ac 2ac
Далее, выполним деление:
(a + 4c + b)(a + 4c - b) (a + 4c + b)(a + 4c - b) a + 4c - b
–––––––––––––––––– : (a + b + 4c) = –––––––––––––––––– = –––––––– .
2ac 2ac·(a + b + 4c) 2ac
Наконец, выполним умножение:
a + 4c - b
–––––––– · 2ac = a + 4c - b.
2ac
Ответ: 5.
____________________________________________________________________________________
А15. Найдите сумму целых решений неравенства 5(x - 4) > (x - 4)².
1) 39; 2) 5; 3) 26; 4) -26; 5) -5.
Решение:
5(x - 4) > (x - 4)²; (переносим правую часть влево со знаком ”минус”)
5(x - 4) - (x - 4)² > 0; (выносим (x - 4) за скобки)
(x - 4)( 5 - (x - 4) ) > 0; (раскрываем внутренние скобки)
(x - 4)(5 - x + 4) > 0; (упрощаем во 2-й скобке)
(x - 4)(9 - x) > 0; (обе части неравенства умножим на (-1), изменив знак “>” на знак “<”)
- (x - 4)(9 - x) < 0; (внесём “минус” во 2-ю скобку)
(x - 4)(x - 9) < 0. (1)
− на числовую ось наносим точки 4 и 9 (точки не закрашиваем, т.к. неравенство (1) строгое);
− на полученных интервалах наносим справа-налево знаки “+, -”, чередуя;
− т.к. неравенство (1) имеет знак “<”, то закрашиваем интервалы со знаком “-”;
− выписываем решение неравенства (по закрашенной области на рис.):
x є (4; 9).
Из интервала (4; 9) находим целые числа: 5, 6, 7, 8.
Находим сумму целых решений неравенства:
5 + 6 + 7 + 8 = 26.
Ответ: 3.
____________________________________________________________________________________
Решение:
ABCDA₁B₁C₁D₁ − прямоугольный параллелепипед (рис. 1);
АВ = 20;
AD = 4;
M, N − середины сторон АА₁ и ВВ₁ соответственно;
α = 60⁰;
Sсеч − площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью (заштрихована);
Sсеч − ?
Воспользуемся формулой:
Sосн = Sсеч·cosα, (1)
где Sосн = SABCD = АВ·AD − площадь основания прямоугольного параллелепипеда;
Из (1) имеем
Sсеч = Sосн/cosα.
Sсеч = (АВ·AD)/cosα.
Sсеч = (20·4)/cos60⁰ = (20·4)/0,5 = 160.
Sсеч = 160.
Ответ: 4.
____________________________________________________________________________________
А17. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции
y = (3sin3x + 3cos3x)²
равна: 1) 9; 2) 18; 3) 36; 4) 3; 5) 12.
Решение:
ymax + ymin − ?
y = (3sin3x + 3cos3x)². (1)
Правую часть (1) возведём в квадрат по формуле (а + в)² = а² + 2ав + в²:
(3sin3x + 3cos3x)² = (3sin3x)² + 2·3sin3x·3cos3x + (3cos3x)² = 9sin²3x + 9·2sin3x·cos3x + 9cos²3x =
= 9(sin²3x + cos²3x + 2sin3x·cos3x) =
= ( применим формулы: sin²α + cos²α = 1; 2sinα·cosα = sin2α ) =
= 9(1 + sin6x).
Тогда (1) примет вид:
y = 9(1 + sin6x). (1*)
Оценим правую часть (1*) с помощью цепочки неравенств:
-1 ≤ sin6x ≤ 1 (прибавим 1),
-1 + 1 ≤ 1 + sin6x ≤ 1 + 1,
0 ≤ 1 + sin6x ≤ 2 (умножим на 9),
0·9 ≤ 9(1 + sin6x) ≤ 2·9,
0 ≤ 9(1 + sin6x) ≤ 18 ( учтём (1*) ),
0 ≤ у ≤ 18. (2)
Следовательно, на основании (2),
ymin = 0, ymax = 18. Тогда
ymax + ymin = 18 + 0 = 18.
ymax + ymin = 18.
Ответ: 2.
________________________________________________________________________________________________
А18. Корень уравнения
1 - 7x
log0,6 ––––– + log0,6 ((1 - 7x)(4x - 5)) = 0
4x - 5
(или их сумма, если корней несколько) принадлежит промежутку:
1) [-1; 0); 2) (0; 1); 3) [1; 2); 4) [2; 3); 5) [3; 4).
Решение:
1 - 7x
log0,6 ––––– + log0,6 ((1 - 7x)(4x - 5)) = 0. (1)
4x - 5
ОДЗ уравнения (1):
(2)Решаем уравнение (1):
1 - 7x
log0,6 ––––– + log0,6 ((1 - 7x)(4x - 5)) = 0; ( Применим формулу logₐх₁+ logₐх₂ = logₐ(х₁х₂) )
4x - 5
log0,6 (1 - 7х)² = 0;
(1 - 7x)² = 0,6⁰;
1 - 14x + 49x² = 1;
49x² - 14x = 0;
x(49x - 14) = 0.
Корни последнего уравнения:
x₁ = 0 или 49x - 14 = 0, x₂ = 14/49 = 2/7.
Первый корень x₁ = 0 не удовлетворяет ОДЗ (2), поэтому его отбросим.
Второй корень x₂ = 2/7 удовлетворяет ОДЗ (2), поэтому он является решением уравнения (1).
Корень уравнения (1) принадлежит промежутку (0; 1):
2/7 є (0; 1).
Ответ: 2.
____________________________________________________________________________________
B1. Автомобиль проехал некоторое расстояние, израсходовав 12 л топлива. Расход топлива при этом составил 8 л на 100 км пробега. Затем автомобиль существенно увеличил скорость, в результате чего расход топлива вырос до 10 л на 100 км пробега. Сколько литров топлива понадобится автомобилю, чтобы проехать такое же расстояние?
Решение:
1) 8 л (на 100 км)
X₁ = 12 л
2) 10 л (на 100 км)
X₂ − ?
Пусть S − расстояние, пройденное автомобилем в обоих случаях.
1. В первом случае расход топлива на 1 км пробега составляет: 8:100 = 0,08 л/км.
Расход топлива X₁ при прохождении расстояния S:
X₁ = 0,08·S. (1)
2. Во втором случае расход топлива на 1 км пробега составляет: 10:100 = 0,1 л/км.
Расход топлива X₂ при прохождении расстояния S:
X₂ = 0,1·S. (2)
Разделим равенство (1) на равенство (2):
X₁/X₂ = 0,08·S/(0,1·S) или X₁/X₂ = 0,8, отсюда
X₂ = X₁/0,8,
X₂ = 12/0,8 = 15 л.
Ответ: 15.
____________________________________________________________________________________
B2. Решите уравнение
Решение:
(1)
В (1) перенесём второе слагаемое вправо
(возведём в квадрат обе части уравнения)
x - 2 = (x - 2)(x + 6) или
x - 2 = x² + 6x - 2x - 12 или
x² + 3x - 10 = 0.
Корни последнего квадратного уравнения x₁ = - 5, x₂ = 2.
При возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Поэтому сделаем проверку, подставляя найденные корни в уравнение (1):
при x = - 5 уравнение (1) примет вид
при x = 2 уравнение (1) примет вид
x = 2 − корень уравнения (1).
Ответ: 2.
B3. Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 4, а синус противолежащего угла равен 0,8. Найдите площадь треугольника.
AB = BC
АС = 4
sinB = 0,8
углы A, B, C − острые
SABC − ?
1. Найдём косинус угла В по формуле
sin²B + cos²B = 1, отсюда
cosB = 0,6.
2. Для нахождения длины боковой стороны a = AB = BC (см. рис.) применим теорему косинусов:
AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cosB или
4² = a² + a² - 2a·a·0,6 или 16 = 2a² - 1,2a² или 16 = 0,8a² или a² = 16/0,8 = 20.
a² = 20.
3. Находим площадь треугольника ABC по формуле:
SABC = (1/2)AB·BC·sinB.
SABC = (1/2)a·a·sinB = (1/2)a²·sinB = (1/2)·20·0,8 = 8.
SABC = 8.
Ответ: 8.
________________________________________________________________________________________________
B4. Пусть (x; y) − целочисленное решение системы уравнений
Решение:
Из 1-го уравнения системы выразим х:
х = 3у + 11 (*)
и подставим во 2-е уравнение
4y² + 4y(3у + 11) + (3у + 11)² = 16; (перемножаем и возводим в квадрат)
4y² + 12у² + 44y + 9у² + 66y + 121 = 16; (упрощаем)
25y² + 110y + 105 = 0; (делим на 5)
5y² + 22y + 21 = 0.
Корни полученного квадратного уравнения: у₁ = - 3 , у₂ = - 1,4. Из них целое
у = - 3.
Подставляя целое у = - 3 в (*) находим целое х:
х = 3(-3) + 11 = 2.
Сумма целых: х + у = 2 + (-3) = -1.
х + у = -1.
Ответ: -1.
________________________________________________________________________________________________
B5. Найдите наибольшее целое решение неравенства 23x - 23 · 5x - 3 > 102x - 13.
Решение:
23x - 23 · 5x - 3 > 102x - 13. (1)
Разделим неравенство (1) на 102x - 13 > 0 и применим формулу (ab)n = an · bn:
23x - 23 · 5x - 3 102x - 13 23x - 23 · 5x - 3 23x - 23 · 5x - 3
––––––––––– > ––––––– ; ––––––––––– > 1; ––––––––––––– > 1.
102x - 13 102x - 13 (2·5)2x - 13 22x - 13 · 52x - 13
Далее применим формулу
23x - 23 - 2x + 13 · 5x - 3 - 2x + 13 > 1;
2x - 10 · 5-x + 10 > 1;
2x - 10 · 5- (x - 10) > 1; ( Применим формулу a- n = 1/an )
2x - 10
––––– > 1.
5x - 10
x - 10 < 0, отсюда получаем решение неравенства (1):
x < 10,
из которого следует наибольшее целое решение: 9.
Ответ: 9
________________________________________________________________________________________________
B6. Найдите количество корней уравнения 5sin2x + 3cos4x + 3 = 0 на промежутке [- π/4; 2π].
Решение:
5sin2x + 3cos4x + 3 = 0. (1)
Воспользуемся формулой: cos2x = 1 - 2sin²x. Тогда
cos4x = cos(2·2x) = 1 - 2sin²2x
и уравнение (1) примет вид
5sin2x + 3(1 - 2sin²2x) + 3 = 0. (1*)
Введём замену
t = sin2x. (*)
Тогда уравнение (1*) примет вид
5t + 3(1 - 2t²) + 3 = 0, после упрощения получим квадратное уравнение
6t² - 5t - 6 = 0, корни которого t₁ = 1,5 и t₂ = -2/3.
Возвращаясь в переменной х по (*), имеем два случая:
1). sin2x = 1,5. Нет решений, т.к. sin2x є [-1; 1].
2). sin2x = -2/3;
2x = (-1)n·arcsin(-2/3) + 1800·n, n є Z; ( применим формулу arcsin(-а) = - arcsin(а) )
2x = -(-1)n·arcsin(2/3) + 1800·n, n є Z;
2x = (-1)n+1·arcsin(2/3) + 1800·n, n є Z;
x = (-1)n+1·(1/2)arcsin(2/3) + 900·n, n є Z. (**)
Оценим в градусах arcsin(2/3).
Так как 2/3 ≈ 0,67 и
0,5 < 2/3 <
;arcsin0,5 < arcsin(2/3) < arcsin(
);300 < arcsin(2/3) < 450. (***)
Разность 0,707 - 0,67 = 0,037 меньше разности 0,67 - 0,5 = 0,17, следовательно ( т.к. функция y = arcsinx возрастает на отрезке [0; 1] ) угол arcsin(2/3) лежит ближе к правой границе неравенства (***), т.е. приближённо имеем
arcsin(2/3) ≈ 40⁰.
Тогда приближённое решение уравнения (1) примет вид ( см. (**) )
x ≈ (-1)n+1·(1/2)·400 + 900·n, n є Z или
x ≈ (-1)n+1·200 + 900·n, n є Z. (2)
Промежуток [- π/4; 2π] в градусах будет
[- 450; 3600]. (3)
Выбираем значения n, при которых решения х из (2) попадают в интервал (3):
при n = 0, x = - 200 є [- 450; 3600];
при n = 1, x = 200 + 900 = 1100 є [- 450; 3600];
при n = 2, x = - 200 + 1800 = 1600 є [- 450; 3600];
при n = 3, x = 200 + 2700 = 2900 є [- 450; 3600];
при n = 4, x = - 200 + 3600 = 3400 є [- 450; 3600];
при n = 5, x = 200 + 4500 = 4700 не принадлежит промежутку [- 450; 3600];
при n = - 1, x = 200 - 900 = - 700 не принадлежит промежутку [- 450; 3600].
Итак, на промежутке [- 450; 3600] имеем 5 корней.
Ответ: 5.
____________________________________________________________________________________
B7. Геометрическая прогрессия со знаменателем 4 содержит 10 членов. Сумма всех членов прогрессии равна 30. Найдите сумму всех членов прогрессии с чётными номерами.
Решение:
q = 4
n = 10
S10 = 30
Sчёт − ?
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:
Sn = b1(qn - 1)/(q - 1), (1)
отсюда 1-й член b₁ прогрессии
b1 = Sn·(q - 1)/(qn - 1);
b1 = S10·(q - 1)/(q10 - 1); (*)
Формула общего члена геометрической прогрессии:
bn = b1·qn-1. (2)
Сумма всех членов прогрессии с чётными номерами
Sчёт = b2 + b4 + b6 + b8 + b10 или, с учётом (2),
Sчёт = b1·q + b1·q3 + b1·q5 + b1·q7 + b1·q9 = b1(q + q3 + q5 + q7 + q9).
Sчёт = b1·(q + q3 + q5 + q7 + q9). (**)
В скобках − сумма 5-ти первых членов геометрической прогрессии с 1-ым членом B1 = q и знаменателем Q = q2. По формуле, аналогичной формуле (1) (с заменой: b1 на B1; q на Q), имеем
q + q3 + q5 + q7 + q9 = B1(Q5 - 1)/(Q - 1) = q( (q2)5 - 1)/(q2 - 1) = q(q10 - 1)/(q2 - 1).
Тогда (**) примет вид ( с учётом (*) )
S10·(q - 1) q(q10 - 1) S10·(q - 1)q S10·(q - 1)q S10·q
Sчёт = ––––––––– · ––––––––– = –––––––––– = –––––––––––– = ––––– .
q10 - 1 q2 - 1 q2 - 1 (q + 1)( q - 1) q + 1
S₁₀·q
Sчёт = ––––– .
q + 1
30·4
Sчёт = ––––– = 24.
4 + 1
Ответ: 24.
________________________________________________________________________________________________
B8. Найдите сумму корней уравнения
|(x - 5)(x - 10)|·(|x - 2| + |x - 12| + |x - 7|) = 11(x - 5)(10 - x). (1)
Решение:
Заметим, что левая часть уравнения (1) состоит из суммы и произведения модулей. Так как каждый модуль ≥ 0, то и левая часть уравнения (1) тоже ≥ 0. Следовательно, и правая часть уравнения (1) ≥ 0, т.е. корни уравнения (1) удовлетворяют неравенству
11(x - 5)(10 - x) ≥ 0 или
- 11(x - 5)(x - 10) ≥ 0 (делим на -11)
(x - 5)(x - 10) ≤ 0. (*)
Решим неравенство (*) методом интервалов (см. рис.):
− на числовую ось наносим точки 5 и 10 (точки закрашиваем, т.к. неравенство (*) нестрогое);
− на полученных интервалах наносим справа-налево знаки “+, -”, чередуя;
− т.к. неравенство (*) имеет знак “≤”, то закрашиваем интервал со знаком “-”;
− выписываем решение неравенства (*) (по закрашенной области на рис.):
х є [5; 10]. (**)
Найдём корни уравнения (1), удовлетворяющие условию (**).
С учётом полученных условий (*) и (**) избавимся от некоторых модулей в уравнении (1). При этом для снятия модулей используем формулы:
|a| = - a (при а < 0).
Первый модуль ( см. (*) ):
|(x - 5)(x - 10)| = - (x - 5)(x - 10).
Второй модуль:
Из (**) имеем цепочку неравенств
5 ≤ x ≤ 10, (вычтем 2)
5 - 2 ≤ x - 2 ≤ 10 - 2, или
3 ≤ x - 2 ≤ 8, т.е. x - 2 > 0.
Следовательно,
|x - 2| = x - 2.
Третий модуль:
Из (**) имеем цепочку неравенств
5 ≤ x ≤ 10, (вычтем 12)
5 - 12 ≤ x - 12 ≤ 10 - 12, или
- 7 ≤ x - 12 ≤ - 2, т.е. x - 12 < 0.
Следовательно,
|x - 12| = - (x - 12).
Четвёртый модуль:
Из (**) имеем цепочку неравенств
5 ≤ x ≤ 10, (вычтем 7)
5 - 7 ≤ x - 7 ≤ 10 - 7, или
- 2 < x - 7 < 3, т.е. выражение (x - 7) на интервале (**) может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому на этом этапе мы не можем избавиться от модуля |x - 7| и оставим его.
Тогда уравнение (1) примет вид
- (x - 5)(x - 10)·( x - 2 - (x - 12) + |x - 7| ) = 11(x - 5)(10 - x) или
- (x - 5)(x - 10)·( x - 2 - x + 12 + |x - 7| ) = - 11(x - 5)(x - 10) или
- (x - 5)(x - 10)·( 10 + |x - 7| ) + 11(x - 5)(x - 10) = 0 ( вынесем за скобки (x - 5)(x - 10) )
(x - 5)(x - 10)( - 10 - |x - 7| + 11) = 0 или
(x - 5)(x - 10)( 1 - |x - 7| ) = 0.
Отсюда получаем три уравнения:
1). x - 5 = 0, х = 5 ( удовлетворяет условию (**) ).
2). x - 10 = 0, х = 10 ( удовлетворяет условию (**) ).
3). 1 - |x - 7| = 0 или уравнение |x - 7| = 1, которое равносильно двум системам уравнений и неравенств
а) { x - 7 = 1, отсюда х = 8 ( удовлетворяет условию (**) ).
{ x - 7 ≥ 0.
б) { x - 7 = - 1, отсюда x = 6 ( удовлетворяет условию (**) ).
{ x - 7 < 0.
Итак, получили четыре корня: 5, 10, 8, 6.
Сумма корней: 5 + 10 + 8 + 6 = 29.
Ответ: 29.
____________________________________________________________________________________
B9. Из города А в город В, расстояние между которыми 300 км, одновременно выезжают два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше скорости второго, но он делает в пути остановку на 45 мин. Найдите наибольшее значение скорости (в км/ч) первого автомобиля, при движении с которой он прибудет в В не позже второго.
Решение:
S = 300 км
V₁ = V₂ + 20 (1)
∆t = 45 мин = 3/4 ч
t₁ ≤ t₂ (2)
V₁ max − ?
Заметим, что
V₁ > 0 и V₂ = V₁ - 20 > 0, (*)
отсюда следует
V₁ > 20. (**)
Время нахождения в пути t₁ и t₂ 1-го и 2-го автомобилей соответственно
t₁ = S/V₁ + ∆t = 300/V₁ + 3/4; t₂ = S/V₂ = 300/V₂.
Подставим в неравенство (2)
300/V₁ + 3/4 ≤ 300/V₂ . (3)
Из (1) следует
V₂ = V₁ - 20 (4)
и подставим в (3)
300/V₁ + 3/4 ≤ 300/( V₁ - 20) (обе части неравенства разделим на 3)
100/V₁ + 1/4 ≤ 100/(V₁ - 20).
Перенеся правую часть налево, и складывая дроби в левой части, получим,
V₁² - 20V₁ - 8000
–––––––––––––– ≤ 0. (5)
4V₁(V₁ - 20)
Решим неравенство (5) с учётом условия (**).
Так как знаменатель 4V₁(V₁ - 20) > 0 (см. (*) ), то последнее неравенство равносильно неравенству
V₁² - 20V₁ - 8000 ≤ 0. (6)
Корни квадратного уравнения V₁² - 20V₁ - 8000 = 0: V₁ = - 80 и V₁ = 100. Тогда неравенство (6) примет вид
(V1 + 80)(V1 - 100) ≤ 0. (7)
Решим неравенство (7) методом интервалов (см. рис.):
− на числовую ось наносим точки (- 80) и 100 (точки закрашиваем, т.к. неравенство (7) нестрогое);
− на полученных интервалах наносим справа-налево знаки “+, -”, чередуя;
− т.к. неравенство (7) имеет знак “≤”, то закрашиваем интервал со знаком “-”;
− выписываем решение неравенства (7) (по закрашенной области на рис.):
С учётом условия (**), имеем
V₁ є (20; 100].
Отсюда наибольшее значение скорости 1-го автомобиля
V₁ max = 100 км/ч.
Ответ: 100.
________________________________________________________________________________________________
B10. Из точка А проведены к окружности радиуса 10/3 касательная АВ (В − точка касания) и секущая АС, проходящая через центр окружности и пересекающая её в точках D и C. Найдите площадь S треугольника АВС, если длина секущей АС в 3 раза больше длины касательной. В ответ запишите 2S.
R = 10/3
АС = 3·АВ
S∆АВС = S
2S − ?
1. Теорема о касательной и секущей:
АВ² = АС·АD. (1)
Обозначим АВ = х, тогда АС = 3х. Тогда (1) примет вид
x² = 3х·АD, отсюда
АD = x/3. (2)
Но (см. рис.)
АD = AC - DC = 3x - 2R, т.е.
АD = 3x - 2R. (3)
Из (2) и (3) следует
x/3 = 3x - 2R, отсюда
x = 3R/4. (4)
Тогда ( см. (2) и (4) )
АD = (3R/4)/3 = R/4.
Тогда
AO = AD + DO = R/4 + R = 5R/4.
2. Из прямоугольного ∆ АВO имеем
sinα = BO/AO = R/(5R/4) = 4/5.
3. S = S∆АВС = (1/2)AB·AC·sinα = (1/2)x·3x·(4/5) = (6/5)x² = ( подставим (4) ) = (6/5)(3R/4)² = (27/40)R².
S = (27/40)R².
2S = 2·(27/40)R².
2S = (27/20)R².
2S = (27/20)·(10/3)² = 15.
Ответ: 15.
________________________________________________________________________________________________
B11. Если cos(α + 24⁰) =
0 < α + 24⁰ < 90⁰, то значение выражения 30cos(α + 69⁰) равно … . Решение:
Обозначим β = α + 24⁰, тогда данная задача примет вид:
cosβ =
, 0 < β < 90⁰, (1) 30cos(β + 45⁰) − ?
По формуле sin²β + cos²β = 1 вычислим sinβ. Имеем
отсюда
(берём знак "+", т.к. в 1-й четверти sinβ > 0). Итак,
(2)
Применяя формулы cos(x + y) = cosx·cosy - sinx·siny, sin45⁰ = cos45⁰ =
и, учтя (1) и (2), получим30cos(β + 45⁰) = 30(cosβ·cos45⁰ - sinβ·sin45⁰) =
Ответ: 18.
________________________________________________________________________________________________
B12. Решите уравнение
Решение:
Обозначим
20x2
f(x) = –––––– − левая часть уравнения;
x4 + 25
1. Применим неравенство:
2ab
–––––– ≤ 1, (a > 0, b > 0), (равенство при a = b). (*)
a2 + b2
