А1. Укажите номер рисунка, на котором изображён равнобедренный треугольник: 1) 1;  2) 2;  3) 3;  4) 4;  5) 5.

Решение: 
Сумма внутренних углов треугольника равна 180⁰. Поэтому верхний угол в треугольнике: 1) 25⁰, 2) 35⁰, 3) 50⁰, 4) 45⁰, 5) 40⁰. У равнобедренных треугольников два равных угла. В 5) они равны по 40⁰. Поэтому 5-й треугольник равнобедренный.
Ответ: 5.
________________________________________________________________________________________________

А2. Укажите верное равенство: 
                                                    log35 
1) log39 = 3;  2) log2828 = 0;  3) 5         = 3;  4) log5353 = 53;  5) log15(1/15) = -1. 

Решение: 
Так как                                                                                                                                  log53 
log39 = log3(3²) = 2 (равенство 1 не верно);  log2828 = 1 (равенство 2 не верно);  3 = 5 
(равенство 3 не верно);  log5353 = 1 (равенство 4 не верно);  log15(1/15) = log1515⁻¹ = -1 (равенство 5 верно).
Ответ: 5.
________________________________________________________________________________________________

А3. Сумма всех натуральных делителей числа 20 равна: 1) 9;  2) 42;  3) 7;  4) 41;  5) 21. 

Решение: 
Натуральные делители числа 20:  1, 2, 4, 5, 10, 20. Их сумма: 1+2+4+5+10+20 = 42.
Ответ: 2.
________________________________________________________________________________________________

А4. Даны квадратные уравнения: 
1) 3x² + 12x + 12 = 0;                                           2) 7x² - 3x - 2 = 0; 
3) 5x² + 10x + 5 = 0;                                             4) 12x² + 4x + 5 = 0; 
5) 2x² - 3x - 5 = 0. 
Укажите уравнение, которое не имеет корней. 
1) 1;  2) 2;  3) 3;  4) 4;  5) 5. 

Решение: 
Уравнение не имеет корней, если её дискриминант D = b² – 4ac < 0. 
В каждом уравнении вычисляем дискриминант: 
1) D = 12²-4·3·12 = 0;                                            2) D = (-3)²-4·7·(-2) = 65 > 0; 
3) D = 10²-4·5·5 = 0;                                              4) D = 4²-4·12·5 = -224 < 0; 
5) D = (-3)²-4·2·(-5) = 49 > 0.
Ответ: 4.
________________________________________________________________________________________________

А5. Если 10²·α = 537,61278, то значение α с точностью до сотых равно: 
1) 5,37;   2) 53,76;   3) 5,38;   4) 53761,28;   5) 5376,13. 

Решение: 
10²·α = 537,61278, отсюда α = 537,61278/10² = 537,61278/100 = 5,3761278 ≈ 5,38.
Ответ: 3.
________________________________________________________________________________________________

А6. Число 154 является членом арифметической прогрессии 4, 7, 10, 13, … . Укажите его номер. 
1) 47;   2) 49;   3) 51;   4) 54;   5) 56. 

Решение: 
4, 7, 10, 13, … − арифметическая прогрессия 
а₁ = 4 
d = 3 (разность прогрессии) 
a_n = 154 
n −? 
Формула общего члена арифметической прогрессии: 
a_n = а₁ + d(n - 1), 
отсюда n = (a_n - а₁)/d + 1,  n = (154 - 4)/3 + 1 = 51.  n = 51.
Ответ: 3.
________________________________________________________________________________________________

А7. Решите неравенство |-x| ≥ 3. 
1) x є [3; + ∞);   2) x є (-∞; - 3];   3) x є [- 3; 3];   4) x є (-∞; - 3]U[3; + ∞);   5) x₁ = - 3, x₂ = 3. 

Решение: 
Применим свойства модуля: |-x| = |x|;  |x|² = x². Тогда 
|-x| ≥ 3, отсюда 
|x| ≥ 3. Обе части неравенства возведём в квадрат. 
|x|² ≥ 3² или x² ≥ 3²,  x² - 3² ≥ 0, 
(x – 3)(x + 3) ≥ 0.                             (1)  Применим метод интервалов (см. рис): 
на числовую ось наносим точки ± 3 (точки закрашиваем, т.к. неравенство (1) нестрогое); 
на полученных интервалах наносим справа налево знаки “+, -”, чередуя; 
т.к. неравенство (1) имеет знак “≥”, то закрашиваем интервалы со знаком “+”; 
выписываем ответ (по закрашенной области на рис.). 
x є (-∞; - 3]U[3; + ∞).
Ответ: 4.
________________________________________________________________________________________________

                                                   1      1 
                                1,6 + 0,4 : ( –  + –– ) 
                                                   4     12 
А8. Вычислите:     ––––––––––––––––– .                          1) 2,8;   2) 0,6;   3) 0,28;   4) 60;   5) 28. 
                                             0,1 
Решение: 
      1     1        3      1        3+1        4       1 
1)   – + ––  =  –– + ––  =  ––––  =  ––  =  – . 
      4    12      12    12        12         12     3 
            1 
2) 0,4 : – = 0,4·3 = 1,2. 
            3 
3) 1,6 + 1,2 = 2,8. 
4) 2,8 : 0,1 = 2,8·10 = 28.
Ответ: 5.
________________________________________________________________________________________________

А9. Площадь круга равна 169π. Диаметр этого круга равен: 1) 26;  2) 13;  3) 26π;  4) 13π;  5) 169. 

Решение: 
S = 169π 
2R − ? (R – радиус круга) 
Площадь S круга: S = πR². Тогда 169π = πR², отсюда R = 13 и 2R = 26.
Ответ: 1.
________________________________________________________________________________________________

А10. Найдите наименьший положительный корень уравнения sin2x = /2 . 
1) π/3;   2) π/12;   3) π/6;   4) π/8;   5) π/4. 

Решение: 
sin2x = = /2;   2x = (-1)ⁿarcsin( /2) + πn;   2x = (-1)ⁿ·π/3 + πn;
x = (-1)ⁿ·π/6 + πn/2,     n є Z.                                                (1) 
Из (1) имеем: 
при n = 0,  x = (-1)⁰·π/6) + π·0/2 = π/6; 
при n = 1,  x = (-1)¹·π/6) + π·1/2 = -π/6 + π/2 = π/3; 
при n = -1, x = (-1)⁻¹·π/6) - π/2 = -π/6 - π/2 < 0. 
Получили наименьший положительный корень:  π/6.
Ответ: 3.
________________________________________________________________________________________________

А11. Четырёхугольник MNPK, в котором     N = 136⁰, вписан в окружность. Найдите градусную меру угла К.           1) 68⁰;   2) 90⁰;   3) 44⁰;   4) 180⁰;   5) 136⁰.
  Решение: 
     N = 136⁰ 
     α − ? 
Воспользуемся теоремой: Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна 180⁰. 
Согласно этой теореме имеем (см. рис.): 
136⁰ + α = 180⁰, отсюда α = 180⁰ - 136⁰ = 44⁰.
Ответ: 3.
________________________________________________________________________________________________

А12. На одной чаше уравновешенных весов лежат 3 яблока и 1 груша, на другой – 2 яблока, 2 груши и гирька весом 20 г. Каков вес одной груши (в граммах), если все фрукты вместе весят 780 г? Считайте все яблоки одинаковыми по весу и все груши одинаковыми по весу. 
1) 95;   2) 85;   3) 90;   4) 75;   5) 105. 

Решение: 
Обозначим X, Y – вес одного яблока и одной груши соответственно. Составим систему уравнений: 
{ 3X + Y = 2X + 2Y + 20 
{ 5X + 3Y = 780, 
или, после упрощения, 
{ X = Y + 20 
{ 5X + 3Y = 780. 
Подставим X из 1-го уравнения во 2-е 
5(Y + 20) + 3Y = 780 или 5Y + 100 + 3Y = 780 или 8Y = 680, отсюда Y = 680/8 = 85 – вес одной груши.
Ответ: 2.
________________________________________________________________________________________________

А13. Прямая а, параллельная плоскости α, находится от неё на расстоянии 3. Через прямую а проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b и образующая с ней угол 60⁰. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если A и B − такие точки прямой а, что AB = 2, а C и D − такие точки прямой b, что CD = 5.
1) 21 ;   2) 21;   3) 21 /4;   4) 21/4;   5) 7  .
  Решение: 
а||α 
BE = 3 
BKE = 60⁰ 
AB = 2 
CD = 5 
S_ABCD − ? 
Так как прямая а параллельна плоскости α, то прямые а и b параллельны (см. рис.). ПоэтомуAB || CD и искомый четырёхугольник ABCD − трапеция, лежащая в плоскости β. Найдём высоту трапеции. 
В плоскости β проведём ВК перпендикулярно прямой b (BK − высота трапеции). 
В плоскости α через точку К проведём прямую dперпендикулярно прямой b. 
Две пересекающие прямые (ВК и d) образуют третью плоскость, перпендикулярную прямой b. В этой плоскости проведём BE перпендикулярно прямой d. 
Получили прямоугольный треугольник BKE (угол Е − прямой, угол BKE = 60⁰). Имеем 
sin60⁰ = BE/BK или  /2 = 3/BK, отсюда BK = 6/  . 
Площадь трапеции ABCD 
S_ABCD = ( (AB + CD)/2 )BK = ( (2 + 5)/2 )6/  = 21/  = 21  /3 = 7  .
Ответ: 5.
________________________________________________________________________________________________
 

А14. Упростите выражение   ––––––––––––– .

Решение: 
Так как 27^x = (3³)^x = (3^x)³ и 9^x = (3²)^x = (3^x)², то обозначив t = 3^x, исходное выражение примет вид:
t³ + t² - 20t      t(t² + t - 20)       t² + t - 20 
–––––––––  =  –––––––––  =  –––––––––.                                                   (1) 
    t(t - 4)              t(t - 4)                 t - 4
Разложим на множители квадратный трёхчлен по формуле:
ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂),  где x₁ и x₂ − корни уравнения ax² + bx + c = 0. 
Имеем t² + t - 20 = 0, корни этого уравнения: t₁ = - 5 , t₂ = 4. Тогда 
t² + t - 20 = (t + 5)(t - 4) и (1) примет вид
(t + 5)(t - 4)
–––––––––  = t + 5 = 3^x + 5.
     t - 4
Ответ: 1.
________________________________________________________________________________________________

А15. Корень уравнения      равен:
 
Решение:
Ответ: 2.
________________________________________________________________________________________________ 

А16. Какая из прямых: 
1) y = 3;   2) y = 4,8;   3) y = 0;   4) y = - 4;   5) y = - 2,7 
пересекает график функции y = (1/2)x² + 2x + 5 в двух точках? 

Решение: 
Подставим вместо y его значение и решим квадратное уравнение относительно x. Если получим дискриминант D > 0, то уравнение имеет два корня и, следовательно, эта прямая пересекает график данной функции в двух точках. 
1). 3 = (1/2)x² + 2x + 5, отсюда x² + 4x + 4 = 0;   D = 4² - 4·4 = 0. 
2). 4,8 = (1/2)x² + 2x + 5, отсюда x² + 4x + 0,4 = 0;   D = 4² - 4·0,4 = 14,4 > 0.
Ответ: 2
________________________________________________________________________________________________

                    2y         1                                                 5x + 6y 
А17. Если   –––  =  –– , то значение выражения  –––––––  равно: 
                     x          3                                                 12y - x 
1) 14/17;    2) 1) 41/71;    3) 3;    4) 6;    5) 1/6. 

Решение: 
                           2y        1                                                                           5x + 6y 
Из равенства   –––  =  ––  имеем x = 6y и подставим в выражение  –––––––. Получим 
                            x         3                                                                            12y - x 
5·6y + 6y      36y 
–––––––– = –––– = 6. 
12y - 6y         6y
Ответ: 4.
________________________________________________________________________________________________

А18. Наименьшее целое решение неравенства 
lg(x² - 4x - 5) - lg(x + 1) ≤ lg3 
равно: 1) 6;    2) 1) -1;    3) 5;    4) -2;    5) 8. 
  Решение: 
ОДЗ данного неравенства найдем, решив систему неравенств: 
{x² - 4x - 5 > 0 
{x + 1 > 0. 
Корни квадратного уравнения x² - 4x - 5 = 0:  x₁ = -1; x₂ = 5. Тогда система неравенств равносильна 
{(x - 5)(x + 1) > 0 
{x > -1.
Наносим решения каждого неравенства на числовые оси (рис. 1). Из рис. 1 следует ОДЗ (общая закрашенная область на двух числовых прямых): 
x є (5; + ∞).                                           (1) 
Решаем логарифмическое неравенство 
lg(x² - 4x - 5) - lg(x + 1) ≤ lg3  или  lg(x² - 4x - 5) ≤ lg3 + lg(x + 1) илиlg(x² - 4x - 5) ≤ lg( 3(x + 1) ). Так как основание 10 > 1, то отбрасываем логарифмы 
x² - 4x - 5 ≤ 3(x + 1) или 
x² - 7x - 8 ≤ 0.                                         (*) 
Корни квадратного уравнения x² - 7x - 8 = 0: x₁ = -1; x₂ = 8. Тогда неравенство (*) равносильно 
(x - 8)(x + 1) ≤ 0.                                     (2)
Наносим решения неравенства (2) на числовую ось (рис. 2) и добавляем вторую ось с закрашенной областью ОДЗ (1).
На рис. 2 общая закрашенная область на двух числовых прямых: 
x є (5; 8] − решение исходного логарифмического неравенства. Отсюда находим наименьшее целое: 6.
Ответ: 1.
________________________________________________________________________________________________

В1. Если в правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, а площадь диагонального сечения равна 9, то её объём равен … . 
  Решение: 
SO = 3 
S_ASC = 9 
V − ? 
Площадь диагонального сечения (см. рис.): S_ASC = (1/2)AC·SO отсюдаAC = 2S_ASC/SO = 2·9/3 = 6. 
Обозначим, а − сторона квадрата ABCD. 
Треугольник ACD прямоугольный, теорема Пифагора: AC² = a² + a² или 6² = 2a², отсюда a² = 18. 
Объём пирамиды: V = (1/3)S_ABCD ·SO = (1/3)a²·SO = (1/3)18·3 = 18.
Ответ: 18.
________________________________________________________________________________________________

                                                                                                         16x - x³ 
В2. Найдите количество всех целых решений неравенства   ––––––– > 0.
                                                                                                             5x  Решение: 
ОДЗ: x ≠ 0. 
Преобразуем данное неравенство: 
 16x - x³           - x(x² - 16)           - (x² - 16) 
––––––– > 0;   ––––––––– > 0;   –––––––– > 0.
    5x                       5x                        5 
Обе части умножим на (- 5):  x² - 16 < 0;  x² - 4² < 0; 
(x - 4)(x + 4) < 0.                                                (1) 
Применим метод интервалов (см. рис): 
на числовую ось наносим точки ± 4; 
на полученных интервалах наносим справа налево знаки “+, -”, чередуя; 
т.к. неравенство (1) имеет знак “<”, то закрашиваем интервал со знаком “-”; 
так как ОДЗ: x ≠ 0, то выкалываем точку x = 0; 
выписываем закрашенную область на рисунке: x є (-4; 0)U(0; 4).
Целые решения неравенства: -3, -2, -1, 1, 2, 3. Количество всех целых решений неравенства: 6. 
Ответ: 6.
________________________________________________________________________________________________

В3. Точки А(2; 2), B(7; 5) и C(8; 5) − вершины трапеции ABCD (AD||BC). Найдите сумму координат точки D, если BD = .
  Решение: 
ABCD (AD||BC) − трапеция 
А(2; 2) 
B(7; 5) 
C(8; 5) 
BD =  
X_D + Y_D − ? 
Проведём BK перпендикулярно AD (см. рис.). Тогда BK = 3, KD = X_D - 7. Треугольник BDK − прямоугольный. Теорема Пифагора: BD² = BK² +KD² или ( )² = 3² + (X_D - 7)², отсюда
(X_D - 7)² = 25 и X_D - 7 = ± 5. Отсюда для X_D имеем два корня: 1) X_D = 12 и 2) X_D = 2. Второй корень отбросим, т.к. тогда точка D совпадёт с точкой А. 
Получили X_D = 12. 
Так как Y_D = 2, то X_D + Y_D = 2 + 12 = 14.
Ответ: 14.
________________________________________________________________________________________________

В4. Найдите периметр правильного шестиугольника, меньшая диагональ которого равна
11   .
  Решение: 
ABCDEF − правильный шестиугольник 
АС = 11  
6a −? (a − сторона шестиугольника) 
Диагонали, проходящие через центр О правильного шестиугольника, делят его на шесть равносторонних треугольников (см. рис.). Два смежных треугольника образуют ромб: ABCO − ромб. Диагонали АС и ВО ромба АВСО перпендикулярны и в точке пересечения К делятся пополам. Следовательно: ∆ АВК − прямоугольный; АК = АС/2; sin60⁰ = АК/АВ = АК/а. Отсюда а = АК/sin60⁰. 
Тогда периметр правильного шестиугольника  6a = 6·АК/sin60⁰ = 6·(АС/2)/sin60⁰ = 3·АС/(  /2). 
6a = 2  ·АС. 
6a = 2  ·11  = 66.
Ответ: 66.
________________________________________________________________________________________________

В5. Найдите произведение корней уравнения 3^x² + 81 = 2^2-x²·6^x².

Решение: 
3^x² + 81 = 2^2-x²·6^x²;
3^x² + 81 = (2²/2^x²)·(2·3)^x²;
3^x² + 81 = (4/2^x²)·2^x²·3^x²;
3^x² + 81 = 4·3^x²;
81 = 4·3^x² - 3^x²; 
81 = 3^x² (4 - 1);
81 = 3^x²·3;
3⁴ = 3^x²+1 . Приравняем степени:
4 = x² + 1;  x² = 3. Отсюда два корня: x₁ = - ,  x₂ = . 
Произведение корней:  x₁·x₂ = (- )· = - 3.
Ответ: -3.
________________________________________________________________________________________________
                                                                                                                                                     


В6. Площадь прямоугольника ABCD равна 55. Точки M, N, P, Q – середины его сторон. Найдите площадь четырёхугольника, заключённого между прямыми AN, BP, CQ, DM.



  Решение:
SABCD = 55 
Точки M, N, P, Q– середины его сторон 
S₀ – ? 
Обозначим (см. рис. 1) 
S₀, S₁, S₂, S₃, S₄ − площади полученных многоугольников; 
AQ=QD=BN=NC = x; 
AM=BM=CP=PD = y. 
Площадь прямоугольника ABCD 
SABCD = 2x·2y отсюда 
xy = SABCD/4.                                             (*) 
Площадь треугольника AMD 
SAMD = AD·AM/2 или S₁+S₂+S₃ = 2x·y/2 = xy или, с учётом (*), 
S₁+S₂+S₃ = SABCD/4.                                    (1) 
Площадь треугольника QCD 
SQCD = QD·CD/2 или S₁+S₂+S₄ = x·2y/2 = xy или, с учётом (*), 
S₁+S₂+S₄ = SABCD/4.                                    (2) 
Из (1) и (2) следует 
S₃ = S₄ .                                                    (3) 
Треугольники AKD и QRD подобны с коэффициентом подобия k = AD/QD = 2x/x = 2. Отношение площадей этих треугольников 
SAKD/SQRD = k² или (S₁+S₃)/S₁ = 4, отсюда 
S₃ = 3S₁ .                                                   (4) 
Треугольники RCD и ECP подобны с коэффициентом подобия k = CD/CP = 2y/y = 2. Отношение площадей этих треугольников 
SRCD/SECP = k² или (S₂+S₄)/S₂ = 4, отсюда 
S₄ = 3S₂ .                                                   (5) 
Из (3), (4), (5) следует 
S₁ = S₂ .                                                     (6) 
Площадь прямоугольника ABCD 
SABCD = S₀+2S₁+2S₂+2S₃+2S₄ . 
К последнему уравнению добавим (1) и получим систему 
{SABCD = S₀+2S₁+2S₂+2S₃+2S₄ 
{S₁+S₂+S₃ = SABCD/4. 
Упростим эту систему с учётом (4) и (5) 
{SABCD = S₀+2S₁+2S₂+6S₁+6S₂ 
{S₁+S₂+3S₁ = SABCD/4, 
или 
{SABCD = S₀+8S₁+8S₂ 
{4S₁+S₂ = SABCD/4. 
С учётом (6), система примет вид 
{SABCD = S₀+16·S₁ 
{5S₁ = SABCD/4. 
Из второго уравнения находим S₁ = SABCD/20 и подставим в первое уравнение 
SABCD = S₀+16·(SABCD/20) отсюда
S₀ = SABCD/5 − общая формула для задач такого типа.
S₀ = 55/5 = 11.
Ответ: 11.
________________________________________________________________________________________________

                                                                     28 
В7. Решите уравнение  x² - 6x + 5 = ––––––––––– и найдите сумму его корней.
                                                             x² - 12x + 32
Решение: 
Разложим на множители квадратные трёхчлены по формуле: 
ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂ − корни уравнения ax² + bx + c = 0. Имеем 
x² - 6x + 5 = 0, корни этого уравнения: x₁ = 1, x₂ = 5. Тогда x² - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5). 
x² - 12x + 32 = 0, корни этого уравнения: x₁ = 4, x₂ = 8. Тогда x² - 12x + 32 = (x - 4)(x - 8). 
Исходное уравнение примет вид 
                               28 
(x - 1)(x - 5) = ––––––––––– .                                           (1) 
                        (x - 4)(x - 8) 
ОДЗ уравнения (1):  x ≠ 4; x ≠ 8. 
Умножим (1) на (x - 4)(x - 8). Получим 
(x - 1)(x - 5)(x - 4)(x - 8) = 28. 
Заметим, что 1+8 = 9 и 5+4 = 9. Поэтому 1-ю скобку умножим на 4-ю скобку, а 2-ю скобку умножим на 3-ю скобку. 
( (x - 1)(x - 8) )·( (x - 5)(x - 4) ) = 28 или (x² - 9x + 8)·(x² - 9x + 20) = 28. 
Замена t = x² - 9x.                                                             (2) 
Тогда (t + 8)·(t + 20) = 28 или t² + 28t + 132, корни этого уравнения: t₁ = - 22, t₂ = - 6. 
Возвращаемся к переменной x по (2). Имеем два случая: 
1) x² - 9x = - 22 или x² - 9x + 22 = 0. Дискриминант этого уравнения D = (-9)² - 4·1·22 = - 7 < 0, уравнение не имеет корней; 
2) x² - 9x = - 6 или x² - 9x + 6 = 0. Дискриминант этого уравнения D = (-9)² - 4·1·6 = 57 > 0, уравнение имеет два корня. По теореме Виета имеем x₁ + x₂ = - (-9)/1 = 9.
Ответ: 9.
________________________________________________________________________________________________

В8. Найдите значение выражения 8cos(α + π/4),  если sin2α = 23/32,  2α є (π/2; π).

Решение: 
cos(α + π/4) = cosαcos(π/4) - sinαsin(π/4) = cosα·(  /2) - sinα·(  /2) = (  /2)(cosα - sinα). Получили 
cos(α + π/4) = (  /2)(cosα - sinα).                                       (1) 
Возведём (1 )в квадрат: 
cos²(α + π/4) = (  /2)²(cosα - sinα)², 
cos²(α + π/4) = (1/2)(cos²α - 2cosαsinα + sin²α).                     (*) 
С учётом формул sin²α + cos²α = 1 и 2sinαcosα = sin2α, (*) примет вид 
cos²(α + π/4) = (1/2)(1 - sin2α); 
cos²(α + π/4) = (1/2)(1 - 23/32); 
cos²(α + π/4) = 9/64; 
cos(α + π/4) = ± 3/8.                                                                  (2) 
Выясним знак косинуса в (2). По условию 
π/2 < 2α < π. Разделим на 2. 
π/4 < α < π/2. Прибавим π/4. 
π/4 + π/4 < α + π/4 < π/2 + π/4 или 
π/2 < α + π/4 < 3π/4, т.е. (α + π/4) є 2-й четверти и cos(α + π/4) < 0. Поэтому в (2) берём “-”: 
cos(α + π/4) = - 3/8. Тогда 
8cos(α + π/4) = 8(- 3/8) = - 3.
Ответ: -3.
________________________________________________________________________________________________

В9. Найдите сумму целых значений x, принадлежащих области определения функции 
                                                          y = logₓ₋₃(7 + 6x - x²). 
Решение: 
Для нахождения ОДЗ данной функции решим систему неравенств:  или     

Корни квадратного уравнения x² - 6x - 7 = 0: x₁ = - 1, x₂ = 7. Тогда система примет вид: 




Наносим решения системы неравенств на числовые оси (см. рис.).
Общая закрашенная область на трёх числовых прямых: 
x є (3; 4) U (4; 7) − решение системы неравенств и, следовательно, ОДЗ данной функции. Отсюда находим целые значения x, принадлежащие области определения функции: 5; 6. 
Сумма целых: 5 + 6 = 11.
Ответ: 11.
________________________________________________________________________________________________


В10. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 2    , вращается вокруг оси, 
                                                                                                           9V 
содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения   –––, где V − объём фигуры 
                                                                                                            π 
вращения. 
  Решение: 
∆ BCD − прямоугольный 
угол С = 90⁰ 
BC = 1 
CD = 2
 9V 
––– − ? 
  π 
Объём V фигуры вращения: 
V = V₁ + V₂ ,                                                                (1) 
где V₁ и V₂ − объёмы верхнего (ABC) и нижнего (ADC) конусов соответственно (см. рис.). 
У конусов общее основание с радиусом R. Тогда 
V₁ = (1/3)πR²h₁ и V₂ = (1/3)πR²h₂ , 
где h₁ = BO и h₂ = OD − высоты верхнего и нижнего конусов соответственно. 
Тогда (1) примет вид 
V = (1/3)πR²h₁ + (1/3)πR²h₂ = (1/3)πR²(h₁ + h₂) = (1/3)πR²·BD.  Итак, 
V = (1/3)πR²·BD.                                                         (2) 
Для прямоугольных треугольников BCD, BOC и DOC, теорема Пифагора: 
{ BD² = BC² + DC²,              { BD² = 1² + (2 )², 
{ BC² = BO² + OC²,    или   {1 = h₁² + R², 
{ DC² = DO² + OC²              { (2 )² = h₂² + R², 
отсюда 
{ BD = h₁ + h₂ = 3,                                                           (*) 
{ 1 = h₁² + R²,                                                                 (**) 
{ 8 = h₂² + R².                                                                (***) 
Получили систему трёх уравнений с неизвестными h₁ , h₂ и R. Для решения задачи (см. (2) ) нам надо найти радиус R.
Из уравнения (***) вычтем уравнение (**): 
8 - 1 = (h₂² + R²) - (h₁² + R²) или 7 = h₂² - h₁² или 7 = (h₂ + h₁)(h₂ - h₁) или, с учётом (*), 7 = 3(h₂ - h₁) или 
h₂ - h₁ = 7/3. 
Полученное равенство сложим со (*): 
(h₂ - h₁) + (h₁ + h₂) = 7/3 + 3 или 2h₂ = 16/3, отсюда h₂ = 8/3. Тогда, по (***) 8 = (8/3)² + R², отсюда 
R² = 8/9. 
Тогда, с учётом (*) и (2), находим объём V: 
V = (1/3)π(8/9)·3 = 8π/9. 
Тогда 9V/π = 9(8π/9)/π = 8.
Ответ: 8.
________________________________________________________________________________________________

В11. Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой 200 г и 300 г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих растворах стало одинаковым. Найдите, сколько раствора (в граммах) было отлито из каждого раствора 

Решение: 
m₁ = 200 г  (1-й раствор) 
m₂ = 300 г  (2-й раствор) 
A₀ ≠ B₀  (A₀ , B₀ − начальная концентрация 1-го и 2-го растворов) 
A₁ = B₁  (A₁ , B₁ − конечная концентрация 1-го и 2-го растворов) 
x − ?  (x − масса отливаемого раствора).

A₀%m₁ = 0,01A₀m₁ и B₀%m₂ = 0,01B₀m₂ − начальная масса спирта в 1-ом и 2-ом растворах соответственно. 
0,01A₀x и 0,01B₀x − масса спирта, отливаемого из 1-го и 2-го растворов. 
0,01A₀m₁ - 0,01A₀x + 0,01B₀x − масса спирта в 1-ом растворе после долива 2-го раствора. 
0,01B₀m₂ - 0,01B₀x + 0,01A₀x − масса спирта в 2-ом растворе после долива 1-го раствора. 
A₁ = (0,01A₀m₁ - 0,01A₀x + 0,01B₀x)(100%/m₁) − конечная концентрация спирта (в %) в 1-ом растворе. 
B₁ = (0,01B₀m₂ - 0,01B₀x + 0,01A₀x)(100%/m₂) − конечная концентрация спирта (в %) в 2-ом растворе. 
По условию A₁ = B₁ или 
(0,01A₀m₁ - 0,01A₀x + 0,01B₀x)(100%/m₁) = (0,01B₀m₂ - 0,01B₀x + 0,01A₀x)(100%/m₂), отсюда 
A₀ - (A₀ - B₀)x/m₁ = B₀ + (A₀ - B₀)x/m₂ , отсюда (A₀ - B₀) - (A₀ - B₀)x/m₁ - (A₀ - B₀)x/m₂ = 0 или 
(A₀ - B₀)(1 - x/m₁ - x/m₂) = 0.                                    (1) 
По условию A₀ ≠ B₀ , поэтому в (1) первый сомножитель (A₀ - B₀) ≠ 0. Тогда из (1) следует 
1 - x/m₁ - x/m₂ = 0, отсюда находим x: 
x = m₁m₂/(m₁ + m₂) − общая формула для задач такого типа. 
x = 200·300/(200 + 300) = 120 г.
Ответ: 120.
________________________________________________________________________________________________

                                                                                                              (x - 5)² 
В12. Найдите произведение корней уравнения  x -  = –––––––. 
                                                                                                             2x + 10 
Решение: 
Область допустимых значений неизвестной x: 
ОДЗ: { x² - 25 ≥ 0             { x² ≥ 25 
         { 2x + 10 ≠ 0  или   { x ≠ - 5. 
Введём замену 
t =  . (t ≥ 0)                                        (1) 
Тогда t² = x² - 25, отсюда 
x² = t² + 25.                                                       (*) 
Тогда исходное уравнение примет вид 
            (x - 5)² 
x - t = ––––––– или (x - t)(2x + 10) = (x - 5)². 
           2x + 10 
Отсюда, перемножая скобки слева и возводя в квадрат справа, получим 
2x² + 10x - 2xt - 10t = x² - 10x + 25 или x² + 20x - 2xt - 10t - 25 = 0. 
С учётом (*), последнее равенство примет вид 
t² + 25+ 20x - 2xt - 10t - 25 = 0 или (t² - 10t) + (20x - 2xt) = 0 или t(t - 10) - 2x(t - 10) = 0 отсюда 
(t - 10)(t - 2x) = 0.                                              (2) 
Итак, введя новую переменную t, нам удалось разложить на множители исходное уравнение и получить (2). Из (2) имеем два случая: 
1) Первую скобку в (2) приравняем к нулю: 
t - 10 = 0 или t = 10 или t² = 100. С учётом (1), x² - 25 = 100 или x² = 125 отсюда 
x = ±  .                                                      (**) 
Оба корня в (**) удовлетворяют ОДЗ и исходному уравнению. 
2) Вторую скобку в (2) приравняем к нулю: 
t - 2x = 0 или t = 2x или t² = 4x². С учётом (1), x² - 25 = 4x² отсюда x² = - 25/3 < 0. Корней нет. 
Итак, исходное уравнение имеет два корня (см. (**) ). Произведение корней: 
x₁·x₂ = (-  )  = - 125.
Ответ: -125.
________________________________________________________________________________________________