Подписывайтесь на нашу группу ВКонтакте https://vk.com/minskstudent

Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей

Вариант 1

Часть В

Задача В1. В момент начала отсчета времени  два тела начали двигаться из одной точки вдоль оси . Если зависимости проекций скоростей движения тел от времени имеют вид , где , и , где , то тела встретятся через промежуток времени , равный … с..

Решение.

Для решения данной задачи необходимо определить зависимость от времени не проекций скоростей тел, а их координат  и . Тогда для определения момента встречи нужно будет решить уравнение , ведь в момент встречи координаты тел совпадут.

Для нахождения зависимости координат тел от времени заметим, что зависимость проекций скоростей тел от времени является линейной функцией. Как должно быть известно из школьного курса физики, такой вид зависимости скорости от времени возникает при равноускоренном движении.

Таким образом, A и C - это проекции начальных скоростей движения тел на ось Ox, а B и D - это проекции ускорений движения тел.

Выберем начало координат там, где тела находятся в начальный момент времени (по условию задачи тела начинают двигаться из одной точки). Тогда уравнения движения тел имеют вид:

Найдем момент встречи тел, решив уравнение

Первый корень – это начальный момент времени, в который тела находились в одной точки по условию. Второй корень t = 30 c как раз и определяет тот момент времени, когда тела встретятся снова.

Ответ: 30.

 

Задача В2. Дирижабль летит в горизонтальном направлении с постоянной скоростью. На рисунке изображены сила Архимеда  и сила сопротивления воздуха , действующая на дирижабль. Если сила тяги  двигателей дирижабля направлена горизонтально, а модуль этой силы , то масса m дирижабля равна … т.

Решение.

Изобразим на чертеже силу тяги  и силу тяжести . Пока что мы не знаем модули этих сил, поэтому масштаб при их изображении не соблюдаем.

Запишем для дирижабля уравнение второго закона Ньютона:

.

Так как по условию задачи дирижабль летит с постоянной скоростью и в одном направлении, то движение дирижабля является равномерным и прямолинейным, а значит, .

Тогда уравнение второго закона Ньютона принимает вид:

.

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат:

Из записанных уравнений следует, что

В то же время, из рисунка видно, что , так как  занимает пять клеточек, а  - одну.

Значит

Ответ: 5

 

Задача В3. На гидроэлектростанции с высоты  ежесекундно падает  воды. Если полезная мощность электростанции , то коэффициент полезного действия  электростанции равен … %.

Решение.

Рассмотрим работу станции в течение некоторого промежутка времени t.

Электростанция получает энергию за счет падающей воды. Вода совершает работу за счет того, что ее потенциальная энергия под действием силы тяжести преобразуется в кинетическую. Это затраченная работа, то есть та работа, которую совершила сила тяжести для приведения турбин электростанции в движение. Она равна потенциальной энергии воды, находящейся на высоте h:

, где M - это масса всей воды, упавшей на лопасти турбин электростанции за время t. Так как в единицу времени на станцию падает вода массы m, то M = mt.

Тогда

.

Затраченная мощность:

Тогда КПД станции по определению:

.

Во ответ записываем округленное до целого числа значение, то есть 63.

 Ответ: 63.

 

Задача В4. Два тела массами  и , модули скоростей которых одинаковы , двигались по гладкой горизонтальной поверхности во взаимно перпендикулярных направлениях. Если после столкновения тела движутся как единое целое со скоростью, модуль которой , то количество теплоты , выделившееся при столкновении, равно … Дж.

 

Решение.

Столкновения, после которых тела движутся как единое целое называются абсолютно неупругими. При таких столкновениях механическая энергия системы не сохраняется, так как часть энергии при ударе переходит в тепло. Однако полная энергия сохраняется всегда, поэтому для абсолютно неупругого столкновения двух тел закон сохранения полной энергии может быть записан следующим образом:

, где  - кинетические энергии тел перед столкновением,  - кинетическая энергия единого тела, которое образуется в результате упругого удара,  - количество теплоты, выделившееся в результате столкновения.

Из записанного уравнения закона сохранения энергии можно найти выделившееся количество теплоты:

.

Так как после столкновения масса образовавшегося тела равна , а скорость  известна, то кинетическая энергия единого тела после столкновения равна:

.

Скорости же тел до столкновения нам неизвестны. Для их нахождения воспользуемся законом сохранения импульса, который выполняется даже при неупругих столкновениях!

Запишем закон сохранения импульса для нашего случая:

.

Не смотря на то, что модули скоростей двух тел равны до столкновения , как векторные величины эти скорости различны, так как направлены перпендикулярно друг другу. Рисунок ниже поясняет, как составляется уравнение закона сохранения импульса в векторной форме.

Векторной записи закона сохранения импульса соответствует графическое сложение векторов, которое изображено на рисунке. На основании теоремы Пифагора можем записать:

.

Здесь уже можно учесть, что :

.

Отсюда

.

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы найти выделившееся при ударе количество теплоты:

Подставляем численные значения:

Ответ: 336.

 

Задача В5. В баллоне находился идеальный газ массой . После того как из баллона выпустили некоторую массу газа и понизили абсолютную температуру оставшегося газа так, что она стала на  меньше первоначальной, давление газа в баллоне уменьшилось на . Масса  газа в конечном состоянии равна … г.

Решение.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа в баллоне до выпускания и после.

До выпускания газа имеем:

.

После выпускания:

.

При записи уравнений мы учли, что молярная масса газа остается неизменной, так как газ тот же, объем газа также остается неизменным, так как баллон не меняют, а вот давление и температура газа изменяются до некоторых новых значений  и .

Так как абсолютную температуру газа понизили на , то

.

При этом новое давление газа:

.

В последних двух выражениях , то есть мы от процентов перешли к долям.

Тогда для двух состояний газа получаем:

.

Разделим второе уравнение на первое:

Подставляем численные значения:

.

Ответ: 525.

 

Задача В6. Воздух  при прохождении через электрический фен нагревается от температуры  до . Если мощность, потребляемая феном, , то масса m воздуха, проходящего через фен за промежуток времени , равна … кг.

 

Решение.

Будем считать, что вся мощность, потребляемая феном, идет на нагрев воздуха (часть мощности расходуется на вращение вентилятора, излучение, трение в подшипнике вентилятора и др.). Тогда за время  фен сообщает воздуху количество теплоты .

Если m - масса воздуха, прошедшая через фен за время , то

.

Отсюда

.

Переводим единицы измерения:

Подставляем значения в формулу:

Ответ: 15.

 

Задача В7.  .При изотермическом расширении идеального одноатомного газа, количество вещества которого постоянно, сила давления газа совершила работу . Если при последующем изобарном нагревании газу сообщили в два раза большее количество теплоты, чем при изотермическом расширении, то работа , совершенная силой давления газа при изобарном нагревании равна … Дж.

 

Решение.

Рассмотрим процесс изотермического расширения газа. Так как температура при изотермическом процессе остается постоянной, то изменения внутренней энергии газа не происходит.

Запишем для газа уравнение первого начала термодинамики при изотермическом расширении:

.

Для изобарного нагревания уравнение первого начала термодинамики имеет вид:

, где  - количество теплоты, сообщенное газу при изобарном нагревании,  - изменение внутренней энергии газа при изобарном нагревании,  - работа, совершенная газом.

Пусть при изобарном нагревании объем газа увеличивается от  до , а температура увеличивается от  до , давление газа при этом остается постоянным и равным .

Тогда изменение внутренней энергии газа (газ одноатомный):

Работа, совершаемая газом, равна:

Тогда уравнение первого начала термодинамики принимает вид:

Для двух состояний газа с температурами  и  запишем уравнения Менделеева-Клапейрона:

Тогда уравнение первого начала термодинамики принимает вид:

.

Отсюда находим :

Ответ: 800.

 

Задача В8. Абсолютный показатель преломления рубина . Если длина световой волны в рубине , то частота v этой волны равна … ТГц.

 Решение.

Пусть  - скорость света в рубине, тогда частота световой волны:

.

Скорость световой волны в веществе меньше скорости света в вакууме в n раз, где n - показатель преломления вещества.

В нашем случае .

Тогда частота световой волны:

Ответ: 467.

 

Задача В9. В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R, а внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. Если до замыкания ключа К идеальный амперметр показывал силу тока , то после замыкания ключа К амперметр покажет силу тока , равную … мА.

Решение.

Данная задача является типичным примером задачи на расчет разветвленных электрических цепей постоянного тока. Как показывает практика, школьники зачастую испытывают определенные трудности при расчете таких цепей, хотя ничего сложного в таких задачах нет: главное четко знать свойства последовательного и параллельного соединений резисторов и уметь применять метод свертывания электрических цепей. Рассмотрим подробнее, что такое метод свертывания и как он работает на примере данной задачи.

1) Изобразим цепь до замыкания ключа, при этом на схеме уберем все лишнее: сам ключ и амперметр.

Обозначим на схеме искомый ток . Это как раз тот ток, который показывал бы амперметр.

Метод свертывания электрических цепей состоит в том, чтобы шаг за шагом сворачивать цепь, заменяя последовательные или параллельные соединения нескольких резисторов одним общим резистором

Итак, сначала заменим три последовательно соединенных резистора сопротивлением R каждый на один общий резистор сопротивлением 3R.

Обратите внимание, что данное преобразование никак не влияет на искомый ток .

Далее заметим, что резисторы R и 3R соединены параллельно. Их общее сопротивление:

.

Изобразим проведенные преобразования:

Полученная схема содержит два резистора, соединенных последовательно. Их общее сопротивление:

.

Изобразим соответствующее преобразование:

В итоге мы получили простейшую электрическую цепь, содержащую один резистор и один источник. Ток в этой цепи находим с помощью закона Ома для полной цепи (внутренним сопротивление источника пренебрегаем на основании условия задачи):

2) Теперь замкнем ключ. После замыкания ключа резистор R, находящийся левее ключа, можно исключить из схемы, так как ток через этот резистор не потечет.

После исключение этого резистора процесс свертывания можно повторить, как в пункте 1) и прийти к простейшей электрической цепи с сопротивлением .

Ток в цепи равен:

.

Найдем отношение токов, рассчитанных в п. 1) и 2):

Ответ: 35.

 

Замечания.

1. Научитесь четко выделять последовательно и параллельно соединенные резисторы. Очень часто школьники делают ошибки при выделении этих типов соединений (см. рис.).

2. Параллельное и последовательное соединения не исчерпывают всех возможных видов соединений, встречающихся в электрических цепях. Некоторые типы соединений («звезда» и «треугольник») сворачиваются с использованием специальных приемов и не могут быть сведены к последовательному или параллельному соединениям. Однако данные задачи в школьном курсе физики не изучаются.

 

Задача В10. Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле, модуль индукции которого . Если радиус окружности , то кинетическая энергия  электрона равна … эВ.

 

Решение.

Для расчета кинетической энергии электрона нам необходимо знать его скорость V, тогда

, где  - масса электрона.

Для дальнейшего решения задачи разберемся, при каких условиях возможно равномерное движение электрона по окружности в магнитном поле. Как известно из кинематики, равномерное движение по окружности – это движение с центростремительным ускорением. Это ускорение сообщается  силой Лоренца, действующей на электрон со стороны магнитного поля. Сила Лоренца всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы  и . Так как электрон движется по окружности, то вектор  постоянно меняет свое направление. Вместе с ним меняет направление и сила Лоренца , однако, оба этих вектора всегда лежат в плоскости окружности, по которой происходит движение. Такое возможно только в том случае, если плоскость  всегда перпендикулярна плоскости окружности. Отсюда следует, что вектор индукции магнитного поля  также перпендикулярен плоскости окружности. Значит угол между векторами  и  равен . Тогда модуль силы Лоренца:

.

Запишем для электрона уравнение второго закона Ньютона в проекциях на радиус окружности, проведенный в точку, где в данный момент находится электрон:

, где  - центростремительное ускорение электрона.

Тогда

Кинетическая энергия электрона:

.

Подставив численные значения в данную формулу получим значение кинетической энергии в Джоулях. Нам же нужно получить значение в электрон-вольтах. Для этого нужно разделить значение энергии в Джоулях на заряд электрона e:

.

Подставляем численные значения:

 (округляем до целого числа).

Ответ: 24.

 

Задача В11. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Амплитудное значение напряжения на конденсаторе , а амплитудное значение силы тока в контуре . Если электроемкость конденсатора , то период T колебаний в контуре равен … мс.

 

Решение.

Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется с помощью формулы Томсона:

Таким образом, для нахождения периода нам не хватает значения индуктивности катушки.

Для определения индуктивности используем данные задачи об амплитудных значениях тока и напряжения в колебательном контуре. В процессе электромагнитных колебаний в контуре энергия этих колебаний складывается из энергии заряженного конденсатора  и энергии магнитного поля катушки . Сумма этих энергий в каждый момент времени дает полную энергию колебательного контура.

В тот момент времени, когда напряжение на конденсаторе достигает амплитудного значения, ток в катушке равен 0, поэтому вся энергия контура сосредотачивается в конденсаторе и равна . Когда же ток в катушке достигает амплитудного значения, напряжение на конденсаторе равно нулю и вся энергия контура сосредотачивается в катушке и равна . Так как контур идеальный, то полная энергия в нем сохраняется, а значит

Тогда период колебаний равен:

Подставляем численные значения, не забывая переводить их в единицы СИ.:

 (ответ округляем до целого)

Ответ: 25.

 

 

Задача В12. В однородном магнитном поле, модуль индукции которого , находятся два длинных вертикальных проводника, расположенные в плоскости, перпендикулярной линиям индукции (см. рис.). Расстояние между проводниками . Проводники в верхней части подключены к конденсатору, емкость которого . По проводникам начинает скользить без трения и без нарушения контакта горизонтальный проводящий стержень массой . Если электрическое сопротивление  всех проводников пренебрежимо мало, то через промежуток времени  после начала движения стержня заряд q конденсатора будет равен … мКл.

 

Решение.

Прежде, чем приступать к решению, давайте попробуем разобраться в физике происходящих процессов.

Изначально на стержень действует лишь сила тяжести, под действием которой стержень приходит в движение. Однако движение стержня приводит к тому, что изменяется площадь контура, который замыкается стержнем, а значит, изменяется и магнитный поток вектора индукции магнитного поля через контур. Это приводит, в соответствие с законом Фарадея, к возникновению ЭДС индукции в контуре. Возникающая ЭДС, в свою очередь, заряжает конденсатор, перемещая заряды с одной пластины на другую. Перемещающиеся заряды создают ток через стержень, в результате чего на стержень действует сила Ампера, которая совместно с силой тяжести влияет на движение стержня. Таким образом, стержень как бы действует сам на себя в процессе своего движения.

Опишем теперь происходящие процессы с помощью математических формул.

Рассмотрим теперь некоторый момент времени t. Пусть скорость стержня в этот момент равна V (рис. а). За небольшой промежуток времени  стержень сместится вниз на расстояние  (промежуток времени  настолько мал, что за это время скорость остается практически постоянной). Указанное смещение стержня приведет к увеличению площади контура на величину . Тогда за время  произойдет изменение магнитного потока через контур . На основании закона Фарадея в контуре возникает ЭДС индукции:

Возникшая ЭДС в соответствие с правилом Ленца направлена так, чтобы возникающий ток препятствовал своим магнитным полем нарастанию потока через контур. Таким образом, в нашем случае ЭДС индукции действует по часовой стрелке. Чтобы было понятней, как действует ЭДС индукции изобразим это ЭДС в виде отдельного источника (рис. б).

ЭДС индукции переносит заряд с правой пластины конденсатора на левую, при этом по цепи протекает ток. Пусть I - сила тока в момент времени t, а q - заряд на конденсаторе в рассматриваемый момент времени. За некоторый промежуток времени  с правой пластины на левую перейдет заряд . ЭДС индукции за этот промежуток времени совершит работу . Эта работа идет на увеличение энергии заряженного конденсатора. Так как напряжение на конденсаторе , то перенос дополнительного заряда с одной пластины на другую увеличивает его энергию на величину .

В соответствие с законом сохранения энергии

       (1)

Полученная формула связывает заряд на конденсаторе и скорость стержня в любой момент времени, однако, это не вся информация, которую можно извлечь из формулы (1).

Пусть за время  по цепи пройдет заряд , то есть заряд конденсатора станет равным , а скорость стержня увеличится на величину , то есть станет равной . Формула (1) дает нам связь между новым зарядом и новой скоростью:

Подставим в данное выражение формулу (1), получим:

.

Обе части полученного выражения разделим на  и учтем, что  - сила тока в цепи,  - ускорение стерня.

Тогда получаем связь между силой тока в цепи и ускорением стержня:

.            (2)

Остается изучить механику движения стержня. На стержень действуют сила тяжести , направленная вниз, и сила Ампера , направленная вверх в соответствие с правилом левой руки (рис. в). Пусть  - ускорение стержня в заданный момент времени.

Запишем для стержня уравнение второго закона Ньютона:

.

Спроектируем записанное уравнение на ось OY:

.

В записанное выражение подставим выражение для силы Ампера:

Теперь используем полученную выше формулу (2) и находим ускорение стержня:

.            (3)

Формула (3) говорит о том, что стержень движется равноускоренно, так как величины, входящие в (3) не изменяются со временем.

Так как стержень начинает двигаться из состояния покоя, то его скорость в любой момент времени:

.

Подставим полученное выражение в формулу (1):

.

Значит заряд конденсатора растет прямо пропорционально времени. Вычислим этот заряд при :

Ответ: 25.